Questão 2 (4 pontos)Encontre utilizando a definição de derivada f^{\prime}(2) ,sendo
\begin{aligned} f(x)=\frac{x+3}{x-1} & \\\ f^{\prime}(z) & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\frac{(z+\Delta x)+3}{(2+\Delta x)-1}-5}{\Delta x}\right) \\\ & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{5+\Delta x-5(1+\Delta x)}{\Delta x(1+\Delta x)} \\\ & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-4 \Delta x}{\Delta x(1+\Delta x)} \\\ & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-4}{1+\Delta x} \\\ & =-\frac{4}{1} \end{aligned}
NÂO SERÁ ACEITO DERIVAÇÃO POR MÉTODOS DE DERIVAGÃO!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{x+3}{x-1}
no ponto x=2 usando somente a definição
f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}.
Para isso precisamos:
  1. calcular f(2),
  2. elaborar f(2+\Delta x),
  3. montar o quociente de diferença e simplificar,
  4. finalmente tomar o limite.

Passo 2

Primeiro encontramos
f(2)=\frac{2+3}{2-1}=\frac{5}{1}=5.

Passo 3

Agora substituímos x=2+\Delta x em f(x):
f(2+\Delta x) =\frac{(2+\Delta x)+3}{(2+\Delta x)-1} =\frac{5+\Delta x}{1+\Delta x}.

Passo 4

Escrevemos o quociente de diferença:
\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x} =\frac{\displaystyle\frac{5+\Delta x}{1+\Delta x}-5}{\Delta x}.

Passo 5

Colocamos as parcelas sobre o mesmo denominador:
\frac{5+\Delta x}{1+\Delta x}-5 =\frac{5+\Delta x-5(1+\Delta x)}{1+\Delta x} =\frac{5+\Delta x-5-5\Delta x}{1+\Delta x} =\frac{-4\Delta x}{1+\Delta x}.

Passo 6

Substituindo no quociente e simplificando \Delta x:
\frac{-4\Delta x}{(1+\Delta x)\,\Delta x} =-\frac{4}{1+\Delta x}.

Passo 7

Por fim, tomamos o limite quando \Delta x\to0:
\lim_{\Delta x\to0}\Bigl(-\frac{4}{1+\Delta x}\Bigr) =-\frac{4}{1}= -4.
Portanto,

Resposta

f'(2)=-4.

Exercícios relacionados