Considere a quádrica H dada por 4 x^{2}-y^{2}-z^{2}=4. Apresente a interseção de H com os planos coordenados e esboce o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a quádricas
H:\;4x^{2}-y^{2}-z^{2}=4
e pede as interseções de H com os planos coordenados x=0, y=0 e z=0, além de um esboço do gráfico. O conteúdo envolvido é a classificação de superfícies quádricas (aqui, um hiperbolóide) e o estudo das seções planas resultantes.

Passo 2

Intersecção com o plano x=0.
Substituindo x=0 em 4x^{2}-y^{2}-z^{2}=4 obtém-se
-\,y^{2}-z^{2}=4
ou seja
y^{2}+z^{2}=-4,
que não admite solução real. Logo,
H\cap\{x=0\}=\varnothing.

Passo 3

Intersecção com o plano y=0.
Substituindo y=0 em 4x^{2}-y^{2}-z^{2}=4 vem
4x^{2}-z^{2}=4
ou, dividindo por 4,
\frac{x^{2}}{1}-\frac{z^{2}}{4}=1.
Trata-se de uma hipérbole no plano y=0, centrada na origem, com assimptotas z=\pm2x.

Passo 4

Intersecção com o plano z=0.
Substituindo z=0 em 4x^{2}-y^{2}-z^{2}=4 vem
4x^{2}-y^{2}=4
ou
\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1,
outra hipérbole no plano z=0, centrada na origem, com assimptotas y=\pm2x.

Passo 5

Classificação e esboço de H.
Dividindo a equação por 4 temos
\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{4}=1,
que é a forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas com eixo principal ao longo de x. Observações para o esboço:
  1. Para \lvert x\rvert<1 não há pontos, pois o lado direito ficaria negativo.
  2. Em x=\pm1 surgem dois pontos isolados (\pm1,0,0).
  3. Para \lvert x\rvert>1 as seções por planos x=\text{const} são círculos de raio
\sqrt{4x^{2}-4}=2\sqrt{x^{2}-1}\,.
Isso gera duas “conchas” simétricas, uma para x\ge1 e outra para x\le -1.

Resposta

Interseções: H\cap\{x=0\}=\varnothing. H\cap\{y=0\} é a hipérbole \dfrac{x^{2}}{1}-\dfrac{z^{2}}{4}=1. H\cap\{z=0\} é a hipérbole \dfrac{x^{2}}{1}-\dfrac{y^{2}}{4}=1.
O gráfico de H é um hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo x, com folhas para x\ge1 e para x\le-1, sem pontos para \lvert x\rvert<1.

Exercícios relacionados