Considere a quádrica
dada por
. Apresente a interseção de
com os planos coordenados e esboce o seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a quádricas
e pede as interseções de
com os planos coordenados
,
e
, além de um esboço do gráfico. O conteúdo envolvido é a classificação de superfícies quádricas (aqui, um hiperbolóide) e o estudo das seções planas resultantes.
Passo 2
Intersecção com o plano
.
Substituindo em
obtém-se
Substituindo
ou seja
que não admite solução real. Logo,
Passo 3
Intersecção com o plano
.
Substituindo em
vem
Substituindo
ou, dividindo por
,
Trata-se de uma hipérbole no plano
, centrada na origem, com assimptotas
.
Passo 4
Intersecção com o plano
.
Substituindo em
vem
Substituindo
ou
outra hipérbole no plano
, centrada na origem, com assimptotas
.
Passo 5
Classificação e esboço de
.
Dividindo a equação por temos
Dividindo a equação por
que é a forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas com eixo principal ao longo de
. Observações para o esboço:
- Para
não há pontos, pois o lado direito ficaria negativo. - Em
surgem dois pontos isolados . - Para
as seções por planos são círculos de raio
Isso gera duas “conchas” simétricas, uma para
e outra para
.
Resposta
Interseções:
.
é a hipérbole
.
é a hipérbole
.
O gráfico de
é um hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo
, com folhas para
e para
, sem pontos para
.