Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=\frac{2-x^{2}}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{2 - x^{2}}{x^{2}-1}
Iremos determinar domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo y, assíntotas, derivada primeira e sinal (monotonia), derivada segunda e sinal (concavidade), pontos de máximo/mínimo e de inflexão, montar a tabela de variação e esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio: o denominador não pode ser zero, x^{2}-1\neq0 x\neq\pm1. Logo
\text{Dom}(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Paridade:
f(-x)=\frac{2-(-x)^{2}}{(-x)^{2}-1}=\frac{2-x^{2}}{x^{2}-1}=f(x),
ou seja, f é função par.

Passo 3

Raízes: numerador nulo quando 2 - x^{2}=0, ou seja x=\pm\sqrt{2}, ambos em \text{Dom}(f).
Interseção com o eixo y: x=0 implica
f(0)=\frac{2-0}{0-1}=-2,
portanto o ponto (0,-2).

Passo 4

Assíntotas verticais em x=\pm1. De fato, ao aproximar x\to1^{-} tem-se f(x)\to-\infty e para x\to1^{+}, f(x)\to+\infty (analogamente em x=-1).
Assíntota horizontal: como grau do numerador e do denominador é 2,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-x^{2}\bigl(1-\tfrac2{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(1-\tfrac1{x^{2}}\bigr)} =-1.
Logo há a reta y=-1.

Passo 5

Derivada primeira pelo quociente: se u=2-x^{2} e v=x^{2}-1,
u'=-2x,\quad v'=2x,\quad f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{-2x(x^{2}-1)-(2-x^{2})2x}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Zeramos f'(x)=0 em x=0. Como o denominador é sempre positivo em \text{Dom}(f), o sinal de f' é o mesmo de -2x:
para x<0, f'(x)>0 (função crescente); para x>0, f'(x)<0 (função decrescente). Há, portanto, um máximo relativo em x=0, que vale f(0)=-2.

Passo 6

Derivada segunda: derivando
f'(x)=-2x\,(x^{2}-1)^{-2}
obtemos
f''(x) =2\,\frac{3x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{3}}.
O numerador 2(3x^{2}+1) é sempre positivo e o denominador tem sinal de (x^{2}-1). Logo
em |x|>1, x^{2}-1>0\implies f''(x)>0 (concavidade para cima);
em |x|<1, x^{2}-1<0\implies f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Não há solução de f''(x)=0 na \text{Dom}(f), e os pontos x=\pm1 estão fora do domínio, logo não há pontos de inflexão.

Passo 7

Resumo dos pontos especiais:
  • Máximo relativo em \bigl(0,-2\bigr).
  • Sem mínimos relativos.
  • Sem pontos de inflexão.

Passo 8

Tabela de variação e concavidade (cada intervalo separado por assíntotas em \pm1):
\begin{array}{c|ccc|ccc} x & -\infty & & -1 & -1 & & 1 & & +\infty\\hline f'(x) & & + & \uparrow & \text{---} & \downarrow & - & \downarrow & \\\ \text{monotonia}& \nearrow & & & & & \searrow & \\\ \hline f''(x) & & + & & \text{---} & & + & & \\\ \text{concavidade}& \cup & & & & & \cup & \\\ \end{array}
Esboço qualitativo: função par, ramos que crescem à esquerda de -1, decrescem entre -1 e 0 até -2, atinge máximo em (0,-2), decresce até 1, e depois cresce novamente. Assíntotas verticais em x=\pm1 e horizontal em y=-1. Zeros em \pm\sqrt2.

Resposta

Domínio: \displaystyle(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Paridade: f é par.
Zer os: x=\pm\sqrt2.
Interseção com y: (0,-2).
Assíntotas verticais: x=\pm1.
Assíntota horizontal: y=-1.
Cresce em (-\infty,-1) e (-1,0); decresce em (0,1) e (1,\infty).
Concavidade para cima em (-\infty,-1) e (1,\infty); para baixo em (-1,1).
Máximo relativo em \bigl(0,-2\bigr).
Sem mínimo relativo e sem pontos de inflexão.
Gráfico qualitativo conforme esboço.

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