Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Iremos determinar domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo
, assíntotas, derivada primeira e sinal (monotonia), derivada segunda e sinal (concavidade), pontos de máximo/mínimo e de inflexão, montar a tabela de variação e esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio: o denominador não pode ser zero,
dá
. Logo
Paridade:
ou seja,
é função par.
Passo 3
Raízes: numerador nulo quando
, ou seja
, ambos em
.
Interseção com o eixo :
implica
Interseção com o eixo
portanto o ponto
.
Passo 4
Assíntotas verticais em
. De fato, ao aproximar
tem-se
e para
,
(analogamente em
).
Assíntota horizontal: como grau do numerador e do denominador é 2,
Assíntota horizontal: como grau do numerador e do denominador é 2,
Logo há a reta
.
Passo 5
Derivada primeira pelo quociente: se
e
,
Zeramos
em
. Como o denominador é sempre positivo em
, o sinal de
é o mesmo de
:
para ,
(função crescente); para
,
(função decrescente). Há, portanto, um máximo relativo em
, que vale
.
para
Passo 6
Derivada segunda: derivando
obtemos
O numerador
é sempre positivo e o denominador tem sinal de
. Logo
em ,
(concavidade para cima);
em ,
(concavidade para baixo).
Não há solução de na
, e os pontos
estão fora do domínio, logo não há pontos de inflexão.
em
em
Não há solução de
Passo 7
Resumo dos pontos especiais:
- Máximo relativo em
. - Sem mínimos relativos.
- Sem pontos de inflexão.
Passo 8
Tabela de variação e concavidade (cada intervalo separado por assíntotas em
):
Esboço qualitativo: função par, ramos que crescem à esquerda de
, decrescem entre
e
até
, atinge máximo em
, decresce até
, e depois cresce novamente. Assíntotas verticais em
e horizontal em
. Zeros em
.
Resposta
Domínio:
.
Paridade: é par.
Zer os: .
Interseção com :
.
Assíntotas verticais: .
Assíntota horizontal: .
Cresce em e
; decresce em
e
.
Concavidade para cima em e
; para baixo em
.
Máximo relativo em .
Sem mínimo relativo e sem pontos de inflexão.
Gráfico qualitativo conforme esboço.
Paridade:
Zer os:
Interseção com
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Cresce em
Concavidade para cima em
Máximo relativo em
Sem mínimo relativo e sem pontos de inflexão.
Gráfico qualitativo conforme esboço.