Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo de
Vamos analisar: domínio, paridade, raízes, interseção com
, assíntotas, sinais de
e
, pontos críticos, inflexão, tabelas de monotonicidade e concavidade e esboço do gráfico.
Passo 2
Domínio e paridade
O denominador nunca se anula, logo o domínio é
Como
O denominador
a função é par (simétrica em relação ao eixo
).
Passo 3
Raízes e interseção com o eixo
Para basta que o numerador seja zero, ou seja
. Portanto a única raiz é
e a interseção com o eixo
também ocorre em
, ou seja no ponto
.
Para
Passo 4
Assíntotas
Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo, não há assíntotas verticais (denominador nunca zero) e a assíntota horizontal é dada por
Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo, não há assíntotas verticais (denominador nunca zero) e a assíntota horizontal é dada por
Logo, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Primeira derivada e monotonicidade
Calculando
Calculando
O sinal de
segue o de
:
- para
(decrescente em
).
- em
.
- para
(crescente em
).
Assim é ponto de mínimo global com
.
-
-
-
Assim
Passo 6
Segunda derivada e concavidade
Usando produto para , obtemos
Usando produto para
Zero em
. Como o denominador é positivo:
- se
(concavidade para cima em
).
- se
(concavidade para baixo em
).
Pontos de inflexão em com
.
-
-
Pontos de inflexão em
Passo 7
Tabelas de comportamento
Monotonicidade:
── decrescente ──
── crescente ──
Concavidade:
── côncava para baixo ──
── côncava para cima ──
── côncava para baixo ──
Passo 8
Esboço do gráfico
– A curva é par e atinge o mínimo global em .
– De a
decresce e é côncava para baixo, passando por
(inflexão).
– De a
continua decrescendo, mas agora côncava para cima, até
.
– De a
cresce côncava para cima até
.
– De a
cresce côncava para baixo, aproximando-se de
.
– A curva é par e atinge o mínimo global em
– De
– De
– De
– De
Resposta
Domínio:
Paridade: par
Raíz e interseção em :
Assíntota horizontal: (sem verticais)
Monotonicidade: decresce em , cresce em
; mínimo global em
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
; inflexão em
e
Gráfico conforme descrito acima.
Paridade: par
Raíz e interseção em
Assíntota horizontal:
Monotonicidade: decresce em
Concavidade: côncava para baixo em
Gráfico conforme descrito acima.