Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo de
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}
Vamos analisar: domínio, paridade, raízes, interseção com y, assíntotas, sinais de f' e f'', pontos críticos, inflexão, tabelas de monotonicidade e concavidade e esboço do gráfico.

Passo 2

Domínio e paridade
O denominador x^{2}+3 nunca se anula, logo o domínio é \mathbb{R}. Como
f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{(-x)^{2}+3}=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}=f(x),
a função é par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 3

Raízes e interseção com o eixo y
Para f(x)=0 basta que o numerador seja zero, ou seja x=0. Portanto a única raiz é x=0, e a interseção com o eixo y também ocorre em f(0)=0, ou seja no ponto (0,0).

Passo 4

Assíntotas
Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo, não há assíntotas verticais (denominador nunca zero) e a assíntota horizontal é dada por
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+3}=1.
Logo, a assíntota horizontal é y=1.

Passo 5

Primeira derivada e monotonicidade
Calculando
f'(x) =\frac{2x(x^{2}+3)-x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}} =\frac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}.
O sinal de f'(x) segue o de 6x:
- f'(x)<0 para x<0 (decrescente em (-\infty,0)).
- f'(x)=0 em x=0.
- f'(x)>0 para x>0 (crescente em (0,\infty)).
Assim x=0 é ponto de mínimo global com f(0)=0.

Passo 6

Segunda derivada e concavidade
Usando produto para f'(x)=6x\,(x^{2}+3)^{-2}, obtemos
f''(x) =6\,(x^{2}+3)^{-2} +6x\cdot(-2)\,(x^{2}+3)^{-3}\cdot 2x =\frac{18(1-x^{2})}{(x^{2}+3)^{3}}.
Zero em x=\pm1. Como o denominador é positivo:
- f''(x)>0 se |x|<1 (concavidade para cima em (-1,1)).
- f''(x)<0 se |x|>1 (concavidade para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty)).
Pontos de inflexão em x=\pm1 com f(\pm1)=\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Tabelas de comportamento
Monotonicidade: -\infty ── decrescente ── 0 ── crescente ── +\infty
Concavidade: -\infty ── côncava para baixo ── -1 ── côncava para cima ── 1 ── côncava para baixo ── +\infty

Passo 8

Esboço do gráfico
– A curva é par e atinge o mínimo global em (0,0).
– De -\infty a -1 decresce e é côncava para baixo, passando por (-1,\tfrac14) (inflexão).
– De -1 a 0 continua decrescendo, mas agora côncava para cima, até (0,0).
– De 0 a 1 cresce côncava para cima até (1,\tfrac14).
– De 1 a +\infty cresce côncava para baixo, aproximando-se de y=1.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Paridade: par
Raíz e interseção em y: (0,0)
Assíntota horizontal: y=1 (sem verticais)
Monotonicidade: decresce em (-\infty,0), cresce em (0,\infty); mínimo global em (0,0)
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty), côncava para cima em (-1,1); inflexão em \bigl(-1,\tfrac14\bigr) e \bigl(1,\tfrac14\bigr)
Gráfico conforme descrito acima.

Exercícios relacionados