Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}
Isso envolve determinar
– domínio;
– paridade;
– raízes e interseção com o eixo y;
– assíntotas;
– sinal de f'(x) (monotonicidade e extremos);
– sinal de f''(x) (concavidade e pontos de inflexão);
– tabela de crescimento/decrescimento e concavidade;
– esboço do gráfico identificando mínimo, máximo e inflexões.

Passo 2

Domínio: o denominador x^{2}+1 é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}.
Logo,
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Paridade: calcule f(-x):
f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{(-x)^{2}+1}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=f(x).
Portanto f é função par.

Passo 4

Raízes e intercepto em y:
f(x)=0\implies x^{2}=0\implies x=0,
logo a única raiz é x=0. A interseção com o eixo y ocorre em x=0, dando
f(0)=0,
isto é, o ponto (0,0).

Passo 5

Assíntotas:
– Verticais: não há, pois x^{2}+1\neq0 em \mathbb{R}.
– Horizontal:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+1} =1.
Portanto y=1 é assíntota horizontal.

Passo 6

Primeira derivada:
Use f(x)=x^{2}(x^{2}+1)^{-1}.
f'(x) =\frac{2x(x^{2}+1)-x^{2}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Sinal de f'(x):
– Para x<0, 2x<0 \implies f'(x)<0.
– Para x>0, 2x>0 \implies f'(x)>0.
f'(0)=0.

Passo 7

Monotonicidade e extremo:
f decrescente em (-\infty,0).
f crescente em (0,\infty).
Em x=0 ocorre um mínimo local (único crítico), com f(0)=0.

Passo 8

Segunda derivada: a partir de f'(x)=2x(x^{2}+1)^{-2},
f''(x) =2(x^{2}+1)^{-2} +2x\bigl(-2\bigr)(x^{2}+1)^{-3}\cdot2x =\frac{2-6x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}.
Numerador 2-6x^{2} muda de sinal em \lvert x\rvert=1/\sqrt{3}.

Passo 9

Concavidade e pontos de inflexão:
– Se \lvert x\rvert<1/\sqrt{3}, então 2-6x^{2}>0 \implies f''(x)>0 (concavidade para cima).
– Se \lvert x\rvert>1/\sqrt{3}, então 2-6x^{2}<0 \implies f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Pontos de inflexão em x=\pm1/\sqrt{3}. O valor de f nesses pontos é
f\!\bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}+1} =\frac{1/3}{4/3} =\frac{1}{4}.

Passo 10

Tabela resumida:
\begin{array}{c|ccc|c} x & -\infty & 0 & +\infty & \text{assíntota}\\hline f'(x) & - & 0 & + & \\\ \text{monotonia} & \searrow & \min(0,0) & \nearrow & y=1\\hline \text{intervalo} & (-\infty,-\tfrac1{\sqrt3}) & (-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}) & (\tfrac1{\sqrt3},\infty) & \\\ f''(x) & - & + & - & \\\ \text{concavidade} & \cap & \cup & \cap & \end{array}í

Passo 11

Gráfico e pontos notáveis:
– Função par, mínima em (0,0).
– Sem máximos finitos, pois f(x)\to1 quando x\to\pm\infty.
– Assíntota horizontal y=1.
– Pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt3},\tfrac14\bigr).
Esboço: curva em “U” invertido além dos inflexões, aproximando-se de y=1, com vale mínimo em (0,0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Paridade: par
Raiz e interseção com y: (0,0)
Assíntotas: nenhuma vertical; horizontal y=1
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,\infty)
Extremo: mínimo local em (0,0)
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-\tfrac1{\sqrt3})\cup(\tfrac1{\sqrt3},\infty), côncava para cima em (-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3})
Pontos de inflexão: \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt3},\tfrac14\bigr)
Gráfico: função em “U” com vale em (0,0), inflexões em \pm1/\sqrt3, aproximando-se de y=1.

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