Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Isso envolve determinar
– domínio;
– paridade;
– raízes e interseção com o eixo ;
– assíntotas;
– sinal de (monotonicidade e extremos);
– sinal de (concavidade e pontos de inflexão);
– tabela de crescimento/decrescimento e concavidade;
– esboço do gráfico identificando mínimo, máximo e inflexões.
– domínio;
– paridade;
– raízes e interseção com o eixo
– assíntotas;
– sinal de
– sinal de
– tabela de crescimento/decrescimento e concavidade;
– esboço do gráfico identificando mínimo, máximo e inflexões.
Passo 2
Domínio: o denominador
é sempre positivo para todo
.
Logo,
Logo,
Passo 3
Paridade: calcule
:
Portanto
é função par.
Passo 4
Raízes e intercepto em
:
logo a única raiz é
. A interseção com o eixo
ocorre em
, dando
isto é, o ponto
.
Passo 5
Assíntotas:
– Verticais: não há, pois em
.
– Horizontal:
– Verticais: não há, pois
– Horizontal:
Portanto
é assíntota horizontal.
Passo 6
Primeira derivada:
Use .
Use
Sinal de
:
– Para ,
.
– Para ,
.
– .
– Para
– Para
–
Passo 7
Monotonicidade e extremo:
– decrescente em
.
– crescente em
.
Em ocorre um mínimo local (único crítico), com
.
–
–
Em
Passo 8
Segunda derivada: a partir de
,
Numerador
muda de sinal em
.
Passo 9
Concavidade e pontos de inflexão:
– Se , então
(concavidade para cima).
– Se , então
(concavidade para baixo).
Pontos de inflexão em . O valor de
nesses pontos é
– Se
– Se
Pontos de inflexão em
Passo 10
Tabela resumida:
Passo 11
Gráfico e pontos notáveis:
– Função par, mínima em .
– Sem máximos finitos, pois quando
.
– Assíntota horizontal .
– Pontos de inflexão em .
– Função par, mínima em
– Sem máximos finitos, pois
– Assíntota horizontal
– Pontos de inflexão em
Esboço: curva em “U” invertido além dos inflexões, aproximando-se de
, com vale mínimo em
.
Resposta
Domínio:
Paridade: par
Raiz e interseção com :
Assíntotas: nenhuma vertical; horizontal
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
Extremo: mínimo local em
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
Pontos de inflexão:
Gráfico: função em “U” com vale em , inflexões em
, aproximando-se de
.
Paridade: par
Raiz e interseção com
Assíntotas: nenhuma vertical; horizontal
Monotonicidade: decrescente em
Extremo: mínimo local em
Concavidade: côncava para baixo em
Pontos de inflexão:
Gráfico: função em “U” com vale em