Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}
incluindo domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo y, assíntotas, sinal de f' e de f'', tabela de monotonia e concavidade, gráfico e identificação de extremos e pontos de inflexão.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos x^{2}-4\neq0, ou seja
x^{2}\neq4\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm2.
Logo o domínio é
\mathcal{D}=\bigl(-\infty,-2\bigr)\cup\bigl(-2,2\bigr)\cup\bigl(2,\infty\bigr).

Passo 3

Verificamos a paridade comparando f(-x) com f(x):
f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{(-x)^{2}-4}=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}=f(x).
Portanto f é uma função par.

Passo 4

As raízes vêm de x^{2}=0, isto é x=0. A interseção com o eixo y é f(0)=0/(0-4)=0. Logo o único zero e o ponto no eixo y é
(0,0).

Passo 5

Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera, em x=\pm2. Para a assíntota horizontal, calculamos
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}-4} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1-4/x^{2}}=1,
logo há a reta y=1 como assíntota horizontal.

Passo 6

Derivamos usando quociente:
f'(x) =\frac{2x\,(x^{2}-4)-x^{2}\cdot2x}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{-8x}{(x^{2}-4)^{2}}.

Passo 7

O sinal de f'(x) vem de -8x, pois o denominador é sempre positivo em \mathcal{D}. Assim
f'(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<0, \qquad f'(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad x>0.
Logo f cresce em (-\infty,-2) e ( -2,0), e decresce em (0,2) e (2,\infty).

Passo 8

Derivando novamente:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[-8x\,(x^{2}-4)^{-2}\Bigr] =\frac{8\,(3x^{2}+4)}{(x^{2}-4)^{3}}.
O numerador 8(3x^{2}+4) é sempre positivo, então o sinal de f'' coincide com o de (x^{2}-4)^{3}. Concluímos
f''(x)>0\quad\text{se }|x|>2, \quad f''(x)<0\quad\text{se }|x|<2.
Isto é, concavidade para cima em (-\infty,-2) e (2,\infty), e para baixo em ( -2,2).

Passo 9

Tabela de monotonia e concavidade:
\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -2 & & 0 & 2 & \infty\\hline f'(x) & & + & \text{—} & + & 0 & - & \\\ \text{Monotonia} & \nearrow & & \text{VA} & \nearrow & \searrow & \text{VA} & \searrow\\hline f''(x) & & + & \text{—} & - & & - & + \\\ \text{Concavidade} & \cup & & \text{VA} & \cap & & \text{VA} & \cup \end{array}
Em “VA” estão as assíntotas verticais em x=\pm2.

Passo 10

Gráfico qualitativo e pontos notáveis:
  • Ramo em (-\infty,-2): tende a y=1^+ quando x\to-\infty, vai a +\infty ao aproximar de -2. Cresce e é côncavo para cima.
  • Ramo em (-2,0): vem de -\infty em x\to-2^+, cresce até o ponto (0,0), é côncavo para baixo.
  • Ramo em (0,2): decresce de (0,0) até -\infty em x\to2^-, concavidade para baixo.
  • Ramo em (2,\infty): sai de +\infty em x\to2^+, decresce e se aproxima de y=1^+, concavidade para cima.
O único ponto crítico de troca de sinal de f' é em x=0, passando de crescente para decrescente, sendo portanto um máximo local em
(0,0).
Não há mínimos locais nem pontos de inflexão dentro do domínio.

Resposta

Domínio: \displaystyle(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)
Paridade: par
Raízes: x=0
Interseção com y: (0,0)
Assíntotas verticais: x=\pm2
Assíntota horizontal: y=1
Crescimento: (-\infty,-2) e (-2,0)
Decrescimento: (0,2) e (2,\infty)
Concavidade para cima: (-\infty,-2), (2,\infty)
Concavidade para baixo: (-2,2)
Máximo local: (0,0)
Mínimos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum

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