Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
incluindo domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo
, assíntotas, sinal de
e de
, tabela de monotonia e concavidade, gráfico e identificação de extremos e pontos de inflexão.
Passo 2
Para achar o domínio, impomos
, ou seja
Logo o domínio é
Passo 3
Verificamos a paridade comparando
com
:
Portanto
é uma função par.
Passo 4
As raízes vêm de
, isto é
. A interseção com o eixo
é
. Logo o único zero e o ponto no eixo
é
Passo 5
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera, em
. Para a assíntota horizontal, calculamos
logo há a reta
como assíntota horizontal.
Passo 6
Derivamos usando quociente:
Passo 7
O sinal de
vem de
, pois o denominador é sempre positivo em
. Assim
Logo
cresce em
e
, e decresce em
e
.
Passo 8
Derivando novamente:
O numerador
é sempre positivo, então o sinal de
coincide com o de
. Concluímos
Isto é, concavidade para cima em
e
, e para baixo em
.
Passo 9
Tabela de monotonia e concavidade:
Em “VA” estão as assíntotas verticais em
.
Passo 10
Gráfico qualitativo e pontos notáveis:
- Ramo em
: tende a quando , vai a ao aproximar de . Cresce e é côncavo para cima. - Ramo em
: vem de em , cresce até o ponto , é côncavo para baixo. - Ramo em
: decresce de até em , concavidade para baixo. - Ramo em
: sai de em , decresce e se aproxima de , concavidade para cima.
O único ponto crítico de troca de sinal de
é em
, passando de crescente para decrescente, sendo portanto um máximo local em
Não há mínimos locais nem pontos de inflexão dentro do domínio.
Resposta
Domínio:
Paridade: par
Raízes:
Interseção com :
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Crescimento: e
Decrescimento: e
Concavidade para cima: ,
Concavidade para baixo:
Máximo local:
Mínimos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum
Paridade: par
Raízes:
Interseção com
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Crescimento:
Decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Máximo local:
Mínimos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum