Faça o estudo de continuidade e diferenciabilidade das seguintes funções:
f(x)= 1x & , se x <= 3, -x^2+2 x3 & , se x>3

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a continuidade e a diferenciabilidade da função
f(x)= dfrac1x,&x<= 3,[6pt] dfrac-x^2+2x3,&x>3
O conteúdo é análise de funções definidas por partes, usando definição de continuidade (limites laterais e valor da função) e definição de derivada (limites das diferenças quociente).]

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de . A parte exige , logo
Em cada ramo, para pontos internos ao domínio (isto é, em , em e em ), temos:
  • é contínua e diferenciável em todos .
  • é um polinômio (dividido por ), logo contínuo e diferenciável em todos os reais.
    Portanto, é contínua e diferenciável em

Passo 3

Agora verificamos o ponto crítico x=3.
Valor da função em 3:
f(3)=13
Limite pela esquerda:
limxto3^-f(x)=limxto3^-1x=13
Limite pela direita:
limxto3^+f(x) =limxto3^+-x^2+2x3 =-9+63=-1
Como
limxto3^-f(x)=tfrac13neq -1=limxto3^+f(x),
a função não é contínua em x=3.

Passo 4

Se não há continuidade em x=3, automaticamente não há diferenciabilidade aí. Para confirmar, calcularíamos derivadas laterais:
derivada à esquerda
f'-(3)=(1x)'x=3=-13^2=-19,
derivada à direita
f'+(3)=(-x^2+2x3)'x=3 =-2x+23|x=3 =-6+23=-43
Elas são diferentes e ainda pior: o próprio valor da função não coincide com um limite, então f não é diferenciável em 3.

Passo 5

O ponto x=0 nem sequer pertence ao domínio, portanto não há continuidade nem diferenciabilidade em x=0.

Resposta

A função f é contínua e diferenciável em
(-infty,0)cup(0,3)cup(3,infty),
e não é contínua nem diferenciável em x=0 nem em x=3.

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