Seja f: R R uma função ímpar. O que isso implica sobre a função?

Passo 1

O enunciado diz que fcolon RtoR é ímpar. O conteúdo aqui é a definição de função ímpar e suas consequências básicas: vamos usar a própria definição para obter propriedades como valor em zero e simetria do gráfico.

Passo 2

Por definição, dizer que f é ímpar significa que, para todo xinR, vale
f(-x) = -,f(x)

Passo 3

Uma consequência imediata da definição é o valor de f em zero. Basta substituir x=0 em
f(-0)= -,f(0),
ou seja
f(0) = -,f(0) Longrightarrow 2,f(0)=0 Longrightarrow f(0)=0

Passo 4

Outra implicação é que o gráfico de f é simétrico em relação à origem do plano. Mais precisamente, se (x,y) está no gráfico, então
y = f(x) Longrightarrow -f(x) = f(-x),
logo o ponto (-x,-y) também pertence ao gráfico.

Resposta

A função satisfaz
f(-x) = -,f(x)forall xinR,
dela segue que
f(0)=0
e que seu gráfico é simétrico em relação à origem.

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