Questão 2. Encontre a equação cartesiana da curva alpha(t)=(t^2, 1+t^3).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
alpha(t) = l(x(t),,y(t)r) = l(t^2,;1+t^3r)
e pede a sua equação cartesiana, ou seja, uma relação entre x e y sem o parâmetro t. Para isso, vamos eliminar t.

Passo 2

Da primeira coordenada temos
x = t^2
Isso nos permite expressar t em função de x (lembrando que x>=0 pois t^2>=0):
t = pmraizx

Passo 3

Da segunda coordenada segue
y = 1 + t^3 Longrightarrow y - 1 = t^3

Passo 4

Para eliminar t, elevamos ambos os lados de y-1 = t^3 ao quadrado:
(y - 1)^2 = l(t^3r)^2 = t^6
Mas t^6 = (t^2)^3, e como t^2 = x obtemos
(y - 1)^2 = x^3

Passo 5

Portanto, a equação cartesiana da curva é
(y - 1)^2 = x^3,
com a restrição natural x>=0 (pois x=t^2).

Resposta

(y - 1)^2 = x^3, x>=0

Exercícios relacionados