Faça o estudo de continuidade e diferenciabilidade das seguintes funções:
f(x)= x^3 & , se x <= 0, raizx & , se x>0

Passo 1

O enunciado define a função f por
f(x) = x^3 & x <= 0 raizx & x > 0
e pede o estudo de continuidade e diferenciabilidade. Vamos usar a definição de continuidade (limites laterais e valor coincidem) e a definição de diferenciabilidade (limite do quociente incremental existe finito).

Passo 2

Analisando a continuidade. Em x<0, x^3 é contínua por ser polinomial. Em x>0, raizx é contínua. No ponto x=0:
limxto0^-f(x)=limxto0^-x^3=0
limxto0^+f(x)=limxto0^+raizx=0
e f(0)=0^3=0. Como os limites laterais e o valor da função coincidem em 0, f é contínua em 0. Logo f é contínua em todo R.

Passo 3

Analisando a diferenciabilidade. Para x<0:
f'(x)=ddxx^3=3x^2
Para x>0:
f'(x)=ddxraizx=12raizx
No ponto x=0 calculamos as derivadas laterais:
f'-(0)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^-h^3h =limhto0^-h^2 =0
f'+(0)=limhto0^+raizh-0h =limhto0^+1raizh =+infty
Como as derivadas laterais não coincidem (nem ambas são finitas), f não é diferenciável em 0. Portanto f é diferenciável em Rsetminus0.

Resposta

f é contínua em todo R e diferenciável em Rsetminus0. As derivadas valem
f'(x) = 3x^2 & x<0, dfrac12raizx & x>0

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