Use diferenciação implícita para calcular a derivada da função y=f(x) em cada um dos casos abaixo:
raiz[3]yx+raiz[3]xy=10

Passo 1

O enunciado nos dá a relação
raiz[3]yx + raiz[3]xy = 10
O conteúdo é diferenciação implícita. Vamos usar a forma de potência para as raízes e aplicar regra da cadeia junto com regra do quociente para obter dydx.

Passo 2

Reescrevemos as raízes em potências:
raiz[3]yx = l(yxr)^13, raiz[3]xy = l(xyr)^13
Logo a equação passa a ser
l(tfracyxr)^13 + l(tfracxyr)^13 = 10

Passo 3

Derivamos implicitamente os dois termos. Para
A = l(tfracyxr)^13,
usamos regra da cadeia e do quociente:
A' = 13l(tfracyxr)^-23 cdot ddxl(tfracyxr) = 13l(tfracyxr)^-23 cdot x,y' - yx^2

Passo 4

De modo análogo, para
B = l(tfracxyr)^13
temos
B' = 13l(tfracxyr)^-23 cdot ddxl(tfracxyr) = 13l(tfracxyr)^-23 cdot y - x,y'y^2
E a derivada do lado direito 10 é zero.

Passo 5

Somando A'+B'=0, multiplicamos por 3 e simplificamos os fatores de potências. Após reorganizar e isolar y', chega-se a
y' = yx

Resposta

dydx = yx

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