Faça o estudo do domínio das funções
f(x)=\ln \left(-x^{2}+2 x+3\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr)
e pede o domínio, ou seja, todos os valores de x tais que o argumento do logaritmo seja positivo.

Passo 2

Para que \ln(\cdot) esteja definido, é preciso ter
-x^{2}+2x+3>0.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade), obtemos
x^{2}-2x-3<0.

Passo 4

Resolvendo a equação correspondente
x^{2}-2x-3=0
temos as raízes
x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2}\quad\Rightarrow\quad x=-1\text{ ou }x=3.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola está voltada para cima e a expressão é negativa entre as raízes, isto é, para
-1<x<3.

Resposta

O domínio de f é \,(-1,3).

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