(a) Escreva o roteiro para esboçar uma curva (resumidamente).
(b) Use o roteiro para esboça a curva y=\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Fazer um roteiro resumido para esboçar a curva de uma função (parte (a)).
  2. Usar esse roteiro para estudar e desenhar a curva
y = \frac{2x^{2}}{x^{2}-1}
(parte (b)).
O conteúdo principal é análise de funções racionais: domínio, assimetrias, assíntotas, monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Roteiro resumido para esboçar uma curva y=f(x):
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Verificar interceptos com os eixos e simetria (par, ímpar ou sem simetria).
  3. Encontrar assíntotas verticais (pontos de descontinuidade) e horizontais/oblíquas (limites em \pm\infty).
  4. Calcular a derivada primeira f'(x), estudar seu sinal e localizar pontos críticos para monotonicidade e extremos.
  5. Calcular a derivada segunda f''(x), estudar concavidade e possíveis pontos de inflexão.
  6. Combinar tudo para esboçar a forma geral da curva.

Passo 3

Domínio e simetria de
y = \frac{2x^{2}}{x^{2}-1}.
O denominador x^{2}-1\neq0 implica x\neq\pm1. Logo, o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq\pm1\}.
Como f(-x)=2(-x)^{2}/((-x)^{2}-1)=2x^{2}/(x^{2}-1)=f(x), a função é par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 4

Interceptos:
– Para x=0,
y(0)=\frac{2\cdot0^{2}}{0^{2}-1}=0\quad\Longrightarrow\;(0,0).
y=0 quando o numerador 2x^{2}=0, ou seja, x=0. Não há outro intercepto com o eixo x.

Passo 5

Assíntotas verticais em x=\pm1.
Calcular limites:
\lim_{x\to1^-}y = \frac{2\cdot1}{1-1^-}=-\infty, \quad \lim_{x\to1^+}y = +\infty,
\lim_{x\to(-1)^-}y = +\infty, \quad \lim_{x\to(-1)^+}y = -\infty.

Passo 6

Assíntota horizontal em y=2, pois
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^{2}}{x^{2}-1} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{1-1/x^{2}}=2.
Para |x| grande, y>2 e aproxima-se de 2 por cima.

Passo 7

Derivada primeira:
y'=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}\Bigr) =\frac{4x(x^{2}-1)-2x^{2}\cdot2x}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Como (x^{2}-1)^{2}>0, o sinal de y' vem de -4x:
– Para x<0, y'>0 (crescente).
– Para x>0, y'<0 (decrescente).
Em x=0 há um máximo local em (0,0).

Passo 8

Derivada segunda:
y'' = \frac{4(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
O numerador é sempre positivo, logo o sinal de y'' vem de (x^{2}-1)^{3}:
– Para |x|>1, (x^{2}-1)^{3}>0 y''>0 (concavidade para cima).
– Para |x|<1, (x^{2}-1)^{3}<0 y''<0 (concavidade para baixo).
Não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 9

Resumo da forma da curva:
– Domínio \mathbb{R}\setminus\{\pm1\}, função par.
– Intercepto único em (0,0), que é máximo local.
– Assíntotas verticais em x=\pm1; assíntota horizontal y=2.
– Crescente em (-\infty,-1) e (-1,0); decrescente em (0,1) e (1,\infty).
– Concavidade para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty); para baixo em (-1,1).
Com esses dados, basta desenhar os quatro ramos respeitando os comportamentos nos extremos e nas assíntotas.

Resposta

(a) Roteiro resumido:
  1. Domínio.
  2. Interceptos e simetria.
  3. Assíntotas verticais e horizontais/obliquas.
  4. Derivada primeira para monotonicidade e extremos.
  5. Derivada segunda para concavidade e inflexões.
  6. Combinar tudo e esboçar.
(b) Para y=\tfrac{2x^{2}}{x^{2}-1}:
Domínio \{x\neq\pm1\}, função par; intercepto em (0,0) (máx. local); assíntotas verticais x=\pm1; horizontal y=2; crescente em x<0, decrescente em x>0; concavidade para cima em |x|>1, para baixo em |x|<1. Com isso, esboce quatro ramos que se aproximam das assíntotas conforme detalhado.

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