(a) Escreva o roteiro para esboçar uma curva (resumidamente).
(b) Use o roteiro para esboça a curva
.
(b) Use o roteiro para esboça a curva
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Fazer um roteiro resumido para esboçar a curva de uma função (parte (a)).
- Usar esse roteiro para estudar e desenhar a curva
(parte (b)).
O conteúdo principal é análise de funções racionais: domínio, assimetrias, assíntotas, monotonicidade e concavidade.
O conteúdo principal é análise de funções racionais: domínio, assimetrias, assíntotas, monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Roteiro resumido para esboçar uma curva
:
- Determinar o domínio de
. - Verificar interceptos com os eixos e simetria (par, ímpar ou sem simetria).
- Encontrar assíntotas verticais (pontos de descontinuidade) e horizontais/oblíquas (limites em
). - Calcular a derivada primeira
, estudar seu sinal e localizar pontos críticos para monotonicidade e extremos. - Calcular a derivada segunda
, estudar concavidade e possíveis pontos de inflexão. - Combinar tudo para esboçar a forma geral da curva.
Passo 3
Domínio e simetria de
O denominador
implica
. Logo, o domínio é
Como
, a função é par (simétrica em relação ao eixo
).
Passo 4
Interceptos:
– Para ,
– Para
–
quando o numerador
, ou seja,
. Não há outro intercepto com o eixo
.
Passo 5
Assíntotas verticais em
.
Calcular limites:
Calcular limites:
Passo 6
Assíntota horizontal em
, pois
Para
grande,
e aproxima-se de
por cima.
Passo 7
Derivada primeira:
Como
, o sinal de
vem de
:
– Para ,
(crescente).
– Para ,
(decrescente).
Em há um máximo local em
.
– Para
– Para
Em
Passo 8
Derivada segunda:
O numerador é sempre positivo, logo o sinal de
vem de
:
– Para ,
⇒
(concavidade para cima).
– Para ,
⇒
(concavidade para baixo).
Não há pontos de inflexão no domínio.
– Para
– Para
Não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 9
Resumo da forma da curva:
– Domínio , função par.
– Intercepto único em , que é máximo local.
– Assíntotas verticais em ; assíntota horizontal
.
– Crescente em e
; decrescente em
e
.
– Concavidade para cima em ; para baixo em
.
Com esses dados, basta desenhar os quatro ramos respeitando os comportamentos nos extremos e nas assíntotas.
– Domínio
– Intercepto único em
– Assíntotas verticais em
– Crescente em
– Concavidade para cima em
Com esses dados, basta desenhar os quatro ramos respeitando os comportamentos nos extremos e nas assíntotas.
Resposta
(a) Roteiro resumido:
- Domínio.
- Interceptos e simetria.
- Assíntotas verticais e horizontais/obliquas.
- Derivada primeira para monotonicidade e extremos.
- Derivada segunda para concavidade e inflexões.
- Combinar tudo e esboçar.
(b) Para
:
Domínio , função par; intercepto em
(máx. local); assíntotas verticais
; horizontal
; crescente em
, decrescente em
; concavidade para cima em
, para baixo em
. Com isso, esboce quatro ramos que se aproximam das assíntotas conforme detalhado.
Domínio