Faça o estudo dos sinais das seguintes funções:
f(x)=3 x+10

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x+10 e pede o estudo dos sinais: isto é, determinar onde f(x)>0, onde f(x)<0 e onde f(x)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula da função é f(x)=3x+10.
  • Precisa-se encontrar a(s) raiz(es) (pontos onde a função vale zero) e decidir o sinal da função nos intervalos definidos por essas raízes.

Passo 2

Encontrar a raiz (ponto em que f(x)=0). A raiz é o valor de x que anula a função; calculamos resolvendo a equação
3x+10=0.
Isolando x:
3x=-10,
x=\frac{-10}{3}.
Portanto a função tem uma única raiz em x=\dfrac{-10}{3}. Explicação curta: uma função linear ax+b tem exatamente uma raiz quando a\neq0; aqui a=3\neq0.

Passo 3

Reescrever a função de forma a ver o fator que muda de sinal. Podemos escrever
f(x)=3\!\left(x+\frac{10}{3}\right)=3\!\left(x-\left(-\frac{10}{3}\right)\right).
Aqui isolamos o fator \left(x+\dfrac{10}{3}\right) que se anula exatamente em x=-\dfrac{10}{3}. Essa escrita é útil porque o sinal de f(x) é o produto do sinal de 3 pelo sinal de \left(x+\dfrac{10}{3}\right).

Passo 4

Regra de sinais para produto: o número 3 é positivo. Logo o sinal de f(x) coincide com o sinal de \left(x+\dfrac{10}{3}\right). Assim:
  • Se x+\dfrac{10}{3}>0 então f(x)>0.
  • Se x+\dfrac{10}{3}<0 então f(x)<0.
  • Se x+\dfrac{10}{3}=0 então f(x)=0.
Resolver essas desigualdades é simples:
  • x+\dfrac{10}{3}>0 \iff x>-\dfrac{10}{3}.
  • x+\dfrac{10}{3}<0 \iff x<-\dfrac{10}{3}.
  • x+\dfrac{10}{3}=0 \iff x=-\dfrac{10}{3}.
Para fixar a intuição, teste rápido de valores: f(0)=10>0 (coincide com 0>-\tfrac{10}{3}) e f(-4)=3(-4)+10=-2<0 (coincide com -4<-\tfrac{10}{3}).

Passo 5

Como 3>0 a função é crescente e troca de sinal passando de negativo para positivo ao atravessar a raiz. Resumindo os intervalos de sinal:
  • f(x)<0 para x<-\dfrac{10}{3}.
  • f(x)=0 em x=-\dfrac{10}{3}.
  • f(x)>0 para x>-\dfrac{10}{3}.

Resposta

f(x)=0 em x=-\dfrac{10}{3}
f(x)<0 para x<-\dfrac{10}{3}
f(x)>0 para x>-\dfrac{10}{3}

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