Faça o estudo dos sinais das seguintes funções:
f(x)=-5 x+15

Passo 1

O que o enunciado pede: fazer o estudo dos sinais da função f(x)=-5x+15. Ou seja, precisamos identificar onde a função é positiva, onde é nula e onde é negativa.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=-5x+15.
  • Coeficiente angular (inclinação) é -5.
  • Coeficiente linear (termo independente) é 15.

Passo 2

Encontrar a raiz (ponto onde a função é zero) resolvendo a equação f(x)=0.
-5x+15=0
-5x=-15
x=3
Explicação didática: para uma função linear ax+b a raiz é obtida isolando x. Aqui dividiu‑se por -5. A raiz x=3 divide a reta em duas metades onde o sinal da função pode mudar.

Passo 3

Fatorizar a função para analisar sinais de forma direta:
f(x)=-5x+15=-5(x-3).
Explicação didática: escrever como produto ajuda bastante no estudo de sinais. A regra é: o sinal do produto é o produto dos sinais dos fatores. O fator constante -5 é sempre negativo. O fator (x-3) muda de sinal em x=3.

Passo 4

Analisar o sinal de cada fator e combinar:
  • O fator -5 é sempre negativo (não depende de x).
  • O fator (x-3):
    • é negativo quando x<3;
    • é zero quando x=3;
    • é positivo quando x>3.
Portanto, multiplicando sinais:
  • Para x<3: -5 (negativo) × (x-3) (negativo) = positivo, então f(x)>0.
  • Para x=3: (x-3)=0 f(3)=0.
  • Para x>3: -5 (negativo) × (x-3) (positivo) = negativo, então f(x)<0.
Como verificação rápida, testar pontos:
f(0)=-5\cdot0+15=15>0, \qquad f(4)=-5\cdot4+15=-5<0.
Confere com o que foi concluído acima.

Passo 5

Representação em forma de intervalo (o que normalmente pedem no estudo de sinais):
  • f(x)>0 para x\in(-\infty,3).
  • f(x)=0 para x=3.
  • f(x)<0 para x\in(3,\infty).
Dica para a prova: procedimento padrão para funções lineares — encontre a raiz, fatorize se possível, monte o quadro de sinais com os pontos críticos (aqui só x=3) e combine os sinais dos fatores. Isso funciona rápido e sem calculadora.

Resposta

f(x)>0 para x\in(-\infty,3)
f(x)=0 para x=3
f(x)<0 para x\in(3,\infty)

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