Seja
, mostre que que a função
definida por
não possui limite quando
.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: Mostrar que a função
, definida em
, não tem limite quando
. Estamos em análise real, tema limite de funções, e vamos usar o critério sequencial para provar a inexistência do limite.
Passo 2
Definição e critério sequencial: Se
existisse, então para toda sequência
em
com
, teríamos
. Para mostrar que não há limite, basta achar duas sequências que vão a zero, mas cujas imagens convergem a valores diferentes.
Passo 3
Escolha de sequências: Consideremos as duas sequências
e
Onde é um inteiro não-negativo grande. Ambas satisfazem
e
quando
.
e
Onde
Passo 4
Cálculo das imagens: Para cada
, temos
e
.
Logo as sequências e
convergem, respectivamente, a
e a
.
e
Logo as sequências
Passo 5
Conclusão: Como duas sequências diferentes que se aproximam de zero produzem limites de imagens distintos (
e
), não existe um valor único
que seja o limite de
quando
. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.