Seja X=R-0, mostre que que a função f: X R definida por f(x)=sin (1x) não possui limite quando x 0.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Mostrar que a função f(x)=sinl(1/xr), definida em Rsetminus0, não tem limite quando xto0. Estamos em análise real, tema limite de funções, e vamos usar o critério sequencial para provar a inexistência do limite.

Passo 2

Definição e critério sequencial: Se limxto0f(x)=L existisse, então para toda sequência (xn) em Rsetminus0 com xnto0, teríamos f(xn)to L. Para mostrar que não há limite, basta achar duas sequências que vão a zero, mas cujas imagens convergem a valores diferentes.

Passo 3

Escolha de sequências: Consideremos as duas sequências
n
e
xnto0
Onde ynto0 é um inteiro não-negativo grande. Ambas satisfazem ntoinfty e quando .

Passo 4

Cálculo das imagens: Para cada n, temos
f(xn)=sinl(1/xnr)=sinl(tfracpi2+2pi nr)=1
e
f(yn)=sinl(1/ynr)=sinl(tfrac3pi2+2pi nr)=-1.
Logo as sequências (f(xn)) e (f(yn)) convergem, respectivamente, a 1 e a -1.

Passo 5

Conclusão: Como duas sequências diferentes que se aproximam de zero produzem limites de imagens distintos ( 1 e -1), não existe um valor único L que seja o limite de f(x) quando xto0. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite limxto0sinl(1/xr) não existe.

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