Faça o estudo do sinal de cada uma das funções abaixo, isto é, determine os intervalos em que ela é positiva e os intervalos em que ela é negativa.
f(x)=x e^-x+e^-x

Passo 1

Temos a função f(x)=x e^-x+e^-x. O objetivo é estudar o sinal de f(x), ou seja, determinar onde f(x)>0, onde f(x)<0 e onde f(x)=0. Para isso, vamos usar fatoração e propriedades da função exponencial.

Passo 2

Vamos fatorar e^-x em f(x). Observando que
f(x)=x e^-x+e^-x=(x+1)e^-x,
e lembrando que e^-x>0 para todo xin R. Logo, o sinal de f(x) depende apenas do fator x+1.

Passo 3

Resolvendo x+1=0, obtemos x=-1. Para x>-1, temos x+1>0 e, como e^-x>0, segue f(x)>0. Para x<-1, x+1<0 e, novamente e^-x>0, segue f(x)<0. Em x=-1, f(-1)=0.

Resposta

A função f(x) é positiva para x>-1, negativa para x<-1 e nula em x=-1.

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