Pela propredode calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow-2}\left(\frac{4 x^{3}-6 x^{2}+8 x}{x+1}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to-2}\Bigl(\frac{4x^{3}-6x^{2}+8x}{x+1}\Bigr)^{2}
usando as propriedades de limites. O conteúdo é cálculo de limites de funções polinomiais e quocientes, e a propriedade de que
\lim_{x\to a} [f(x)]^{2} = \bigl(\lim_{x\to a} f(x)\bigr)^{2}.

Passo 2

Vamos chamar
f(x) = \frac{4x^{3}-6x^{2}+8x}{x+1}.
Pela propriedade do limite de potência, temos
\lim_{x\to-2} \bigl[f(x)\bigr]^{2} = \Bigl(\lim_{x\to-2} f(x)\Bigr)^{2}.

Passo 3

Como o numerador 4x^{3}-6x^{2}+8x e o denominador x+1 são funções contínuas em x=-2 (e x+1\neq0 em -2), vale também
\lim_{x\to-2} f(x) = \frac{\displaystyle \lim_{x\to-2} \bigl(4x^{3}-6x^{2}+8x\bigr)}{\displaystyle \lim_{x\to-2} (x+1)}.

Passo 4

Substituindo x=-2 em cada parte:
4(-2)^{3}-6(-2)^{2}+8(-2) =4\cdot(-8)-6\cdot4-16 =-32-24-16 =-72,
(-2)+1 = -1.
Logo
\lim_{x\to-2} f(x) = \frac{-72}{-1} =72.

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado:
\Bigl(\lim_{x\to-2} f(x)\Bigr)^{2} =72^{2} =5184.

Resposta

5184

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