Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
para
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin, porque o ponto é
) da função
até ordem 5.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto de expansão:
. - Queremos termos até a ordem
(ou seja, até polinômio com grau 5).
Passo 2
O que é uma série de Taylor em torno de
(Maclaurin) e como vamos obter os coeficientes, de forma prática.
A série de Taylor de uma função centrada em
é
A série de Taylor de uma função
Na prática, para funções trigonométricas é muito comum obter a série de
usando as séries conhecidas de
e
e a relação
Isso evita calcular muitas derivadas de
. Vou usar a técnica de desenvolver
e
até as ordens necessárias e fazer a divisão de séries (ou, de forma equivalente, assumir uma série desconhecida para
e igualar coeficientes).
Passo 3
Series de
e
em torno de
(já são fórmulas básicas; mostro até a ordem necessária):
Explicação curta: os termos vêm das fórmulas
e
. Peguei os termos até
em
e até
em
porque, ao dividir, para obter termos até
precisamos desses termos.
Passo 4
Estratégia de cálculo por coeficientes: suponho que a expansão de
até
tenha a forma
Como
, isso implica
Agora vou multiplicar o polinômio à esquerda e igualar coeficientes de
para encontrar
.
Passo 5
Multiplicação e igualação de coeficientes (mostro passo a passo):
Multiplicando apenas os termos que contribuem até :
Multiplicando apenas os termos que contribuem até
Calcule os produtos relevantes:
- Termos em
: . - Termos em
: . - Termos em
: .
Portanto a expansão do produto até
é
Essa expressão deve igualar a série de
:
Agora igualamos coeficientes termo a termo:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
e
:
Calculo intermediário:
. Assim
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Resultado e breve interpretação: os coeficientes encontrados são
Portanto a expansão de Maclaurin de
até a ordem
é
Comentário de tranquilidade: deu pra ver que os coeficientes são racionais pequenos; em prova dá pra fazer os cálculos com frações simples. Se quiser conferir numericamente, para
pequeno (por exemplo
) os termos adicionais são muito pequenos, então essa aproximação é boa.