Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
f(x)=\tan x \quad para x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin, porque o ponto é x_0=0) da função f(x)=\tan x até ordem 5.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=\tan x.
  • Ponto de expansão: x_{0}=0.
  • Queremos termos até a ordem x^{5} (ou seja, até polinômio com grau 5).

Passo 2

O que é uma série de Taylor em torno de 0 (Maclaurin) e como vamos obter os coeficientes, de forma prática.
A série de Taylor de uma função f centrada em 0 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Na prática, para funções trigonométricas é muito comum obter a série de \tan x usando as séries conhecidas de \sin x e \cos x e a relação
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Isso evita calcular muitas derivadas de \tan x. Vou usar a técnica de desenvolver \sin x e \cos x até as ordens necessárias e fazer a divisão de séries (ou, de forma equivalente, assumir uma série desconhecida para \tan x e igualar coeficientes).

Passo 3

Series de \sin x e \cos x em torno de 0 (já são fórmulas básicas; mostro até a ordem necessária):
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + O(x^{7}) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + O(x^{7}),
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + O(x^{6}) = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O(x^{6}).
Explicação curta: os termos vêm das fórmulas \sin x=\sum (-1)^k x^{2k+1}/(2k+1)! e \cos x=\sum (-1)^k x^{2k}/(2k)!. Peguei os termos até x^{5} em \sin x e até x^{4} em \cos x porque, ao dividir, para obter termos até x^{5} precisamos desses termos.

Passo 4

Estratégia de cálculo por coeficientes: suponho que a expansão de \tan x até x^{5} tenha a forma
\tan x = a_{1}x + a_{3}x^{3} + a_{5}x^{5} + O(x^{7}).
Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, isso implica
\bigl(a_{1}x + a_{3}x^{3} + a_{5}x^{5} + \cdots\bigr)\bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{4}}{24} + \cdots\bigr) = x - \tfrac{x^{3}}{6} + \tfrac{x^{5}}{120} + \cdots.
Agora vou multiplicar o polinômio à esquerda e igualar coeficientes de x, x^{3}, x^{5} para encontrar a_{1},a_{3},a_{5}.

Passo 5

Multiplicação e igualação de coeficientes (mostro passo a passo):
Multiplicando apenas os termos que contribuem até x^{5}:
(a_{1}x + a_{3}x^{3} + a_{5}x^{5})(1 - \tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{4}}{24})
Calcule os produtos relevantes:
  • Termos em x: a_{1}x.
  • Termos em x^{3}: -\tfrac{a_{1}}{2}x^{3} + a_{3}x^{3}.
  • Termos em x^{5}: \tfrac{a_{1}}{24}x^{5} - \tfrac{a_{3}}{2}x^{5} + a_{5}x^{5}.
Portanto a expansão do produto até x^{5} é
a_{1}x + \bigl(-\tfrac{a_{1}}{2}+a_{3}\bigr)x^{3} + \bigl(\tfrac{a_{1}}{24}-\tfrac{a_{3}}{2}+a_{5}\bigr)x^{5} + O(x^{7}).
Essa expressão deve igualar a série de \sin x:
x - \tfrac{x^{3}}{6} + \tfrac{x^{5}}{120} + O(x^{7}).
Agora igualamos coeficientes termo a termo:
  1. Coeficiente de x:
a_{1}=1.
  1. Coeficiente de x^{3}:
-\tfrac{a_{1}}{2}+a_{3}=-\tfrac{1}{6}.
Substituindo a_{1}=1:
-\tfrac{1}{2}+a_{3}=-\tfrac{1}{6}\quad\Rightarrow\quad a_{3}=-\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}.
  1. Coeficiente de x^{5}:
\tfrac{a_{1}}{24}-\tfrac{a_{3}}{2}+a_{5}=\tfrac{1}{120}.
Substituindo a_{1}=1 e a_{3}=\tfrac{1}{3}:
\tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{6}+a_{5}=\tfrac{1}{120}.
Calculo intermediário: \tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{24}-\tfrac{4}{24}=-\tfrac{3}{24}=-\tfrac{1}{8}. Assim
-\tfrac{1}{8}+a_{5}=\tfrac{1}{120}\quad\Rightarrow\quad a_{5}=\tfrac{1}{120}+\tfrac{1}{8}.
Colocando em denominador comum 120:
a_{5}=\tfrac{1}{120}+\tfrac{15}{120}=\tfrac{16}{120}=\tfrac{2}{15}.

Passo 6

Resultado e breve interpretação: os coeficientes encontrados são
a_{1}=1,\qquad a_{3}=\tfrac{1}{3},\qquad a_{5}=\tfrac{2}{15}.
Portanto a expansão de Maclaurin de \tan x até a ordem x^{5} é
\tan x = x + \tfrac{1}{3}x^{3} + \tfrac{2}{15}x^{5} + O(x^{7}).
Comentário de tranquilidade: deu pra ver que os coeficientes são racionais pequenos; em prova dá pra fazer os cálculos com frações simples. Se quiser conferir numericamente, para x pequeno (por exemplo x=0{,}1) os termos adicionais são muito pequenos, então essa aproximação é boa.

Resposta

\tan x = x + \tfrac{1}{3}x^{3} + \tfrac{2}{15}x^{5} + O(x^{7}).

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