Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a expansão em Série de Taylor centrada em
(desenvolvimento em torno de zero) até ordem
.
Informações do enunciado:
Informações do enunciado:
- Função:
. - Ponto de expansão:
. - Ordem pedida: até ordem
(ou seja, termos até potência ).
Passo 2
Lembrete (fórmula que vamos usar): o polinômio de Taylor de ordem
de uma função
em torno de
é dado por
Explicando essa fórmula de forma bem prática:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . -
é o fatorial de . - Cada termo constrói o coeficiente que multiplica
.
Para obter a expansão até ordemcom precisamos dos valores para . Se algum desses for zero, o termo correspondente some.
Passo 3
Uma observação muito útil antes de derivar:
é uma função par (isto é,
). Isso implica que todas as derivadas de ordem ímpar avaliadas em
serão
. Portanto os coeficientes dos termos de potência ímpar
vão ser nulos. Ainda assim, vamos calcular as derivadas até a quinta para ver o padrão e obter os coeficientes necessários.
Passo 4
Calcular as derivadas passo a passo (usando a regra do produto e a regra da cadeia) e escrever cada uma:
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Quinta derivada:
Passo 5
Avaliar cada derivada em
:
Confirma-se a observação: derivadas ímpares em
são nulas.
Passo 6
Construir o polinômio de Taylor de ordem
usando os coeficientes
:
- Termo
: . - Termo
: . - Termo
: , multiplica . - Termo
: zero. - Termo
: , multiplica . - Termo
: zero.
Portanto o desenvolvimento até ordem
(termos até
) fica
Como observação final: pode-se também obter isso diretamente substituindo
na série de
:
e truncando termos de ordem maior que
(ou seja, maior que
) obtém-se o mesmo resultado.