Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
f(x)=e^{x^{2}} \quad para x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x^{2}} e pede a expansão em Série de Taylor centrada em x_{0}=0 (desenvolvimento em torno de zero) até ordem 5.
Informações do enunciado:
  • Função: f(x)=e^{x^{2}}.
  • Ponto de expansão: x_{0}=0.
  • Ordem pedida: até ordem 5 (ou seja, termos até potência x^{5}).

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar): o polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno de a é dado por
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}.
Explicando essa fórmula de forma bem prática:
  • f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em a.
  • k! é o fatorial de k.
  • Cada termo constrói o coeficiente que multiplica (x-a)^{k}.
    Para obter a expansão até ordem 5 com a=0 precisamos dos valores f^{(k)}(0) para k=0,1,2,3,4,5. Se algum desses for zero, o termo correspondente some.

Passo 3

Uma observação muito útil antes de derivar: f(x)=e^{x^{2}} é uma função par (isto é, f(-x)=f(x)). Isso implica que todas as derivadas de ordem ímpar avaliadas em 0 serão 0. Portanto os coeficientes dos termos de potência ímpar x, x^{3}, x^{5} vão ser nulos. Ainda assim, vamos calcular as derivadas até a quinta para ver o padrão e obter os coeficientes necessários.

Passo 4

Calcular as derivadas passo a passo (usando a regra do produto e a regra da cadeia) e escrever cada uma:
f(x)=e^{x^{2}}.
Derivando uma vez:
f'(x)=2x\,e^{x^{2}}.
Derivando de novo:
f''(x)=\bigl(2+4x^{2}\bigr)e^{x^{2}}.
Terceira derivada:
f^{(3)}(x)=\bigl(12x+8x^{3}\bigr)e^{x^{2}}.
Quarta derivada:
f^{(4)}(x)=\bigl(12+48x^{2}+16x^{4}\bigr)e^{x^{2}}.
Quinta derivada:
f^{(5)}(x)=\bigl(120x+160x^{3}+32x^{5}\bigr)e^{x^{2}}.

Passo 5

Avaliar cada derivada em x=0:
f(0)=e^{0}=1,
f'(0)=2\cdot0\cdot e^{0}=0,
f''(0)=(2+4\cdot0) \cdot 1 = 2,
f^{(3)}(0)=(12\cdot0+8\cdot0) \cdot 1 = 0,
f^{(4)}(0)=(12+48\cdot0+16\cdot0)\cdot1 = 12,
f^{(5)}(0)=(120\cdot0+160\cdot0+32\cdot0)\cdot1 = 0.
Confirma-se a observação: derivadas ímpares em 0 são nulas.

Passo 6

Construir o polinômio de Taylor de ordem 5 usando os coeficientes \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}:
  • Termo k=0: \dfrac{f(0)}{0!}=\dfrac{1}{1}=1.
  • Termo k=1: \dfrac{f'(0)}{1!}=0.
  • Termo k=2: \dfrac{f''(0)}{2!}=\dfrac{2}{2}=1, multiplica x^{2}.
  • Termo k=3: zero.
  • Termo k=4: \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}, multiplica x^{4}.
  • Termo k=5: zero.
Portanto o desenvolvimento até ordem 5 (termos até x^{5}) fica
T_{5}(x)=1 + x^{2} + \frac{1}{2}\,x^{4}.
Como observação final: pode-se também obter isso diretamente substituindo t=x^{2} na série de e^{t}:
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}\quad\Rightarrow\quad e^{x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}=1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} + \frac{x^{6}}{3!}+\cdots,
e truncando termos de ordem maior que 5 (ou seja, maior que x^{5}) obtém-se o mesmo resultado.

Resposta

1 + x^{2} + \dfrac{1}{2}x^{4}

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