Faça uma expansão em Série de Taylor para as seguintes funções abaixo até ordem 5.
para
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: fazer a expansão em Série de Taylor de
centrada em até a ordem 5 (ou seja, incluir termos até ). - Informação útil imediata:
. Isso já sugere que a expansão será a constante mais a expansão de em torno de .
Passo 2
Recordando a fórmula de Taylor e como usá-la (aula rápida).
A série de Taylor de uma função
centrada em
é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Para uma expansão até a ordem 5, usamos os termos de
até
:
Explicando as peças: o termo
é simplesmente
; o termo
é
e assim por diante. Cada coeficiente é a derivada no ponto dividida por
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e observar o padrão.
Primeiro escrevo
. A constante
some nas derivadas (derivada de constante é zero), então basta derivar
. As derivadas são:
Observação do padrão (útil na prova): para
Isto pode ser comprovado por indução, mas acima já vimos os primeiros termos que confirmam o padrão.
Passo 4
Avaliar as derivadas em
e calcular os coeficientes
.
Usando o padrão, para
obtemos
Dividindo por
(pois o coeficiente na série é
) dá
E o termo
é
Passo 5
Montar a série de Taylor até a ordem 5 explicitamente.
Substituindo os coeficientes em
, obtemos
Passo 6
Comentário sobre validade e resto (ajudinha para a prova).
- A série de
centrada em é a série de com . Essa série converge para quando (intervalo de convergência para ao redor de ). Logo a aproximação acima é válida e convergente para . - Se quiser um controle do erro ao truncar na ordem 5, use o resto na forma de Lagrange:
para algum
entre
e
. Como
, dá para estimar
onde
no intervalo considerado, etc. (na prova basta citar a forma do resto se pedirem controle do erro).