Questão 1. (6pts) Encontre o domínio e a imagem de cada função abaixo:
f(x)=1-\sqrt{x+3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas da função f(x)=1-\sqrt{x+3}: o domínio e a imagem.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=1-\sqrt{x+3}.
    Perguntas explícitas:
  • Qual é o domínio de f?
  • Qual é a imagem (conjunto de valores assumidos por f)?

Passo 2

Primeiro vamos entender o que limita o domínio. Quando aparece uma raiz quadrada real \sqrt{\cdot}, o radicando precisa ser não negativo para que a expressão seja real. Aqui o radicando é x+3. Então impomos a desigualdade
x+3 \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade subtraindo 3 dos dois lados, obtemos
x \ge -3.
Portanto todos os x válidos são os que satisfazem x\ge -3, ou seja, o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge -3\} = [-3,\infty).

Passo 3

Verificação do extremo do domínio: calculemos o valor de f no menor x do domínio, x=-3:
f(-3)=1-\sqrt{-3+3}=1-\sqrt{0}=1-0=1.
Ou seja, no ponto x=-3 a função vale 1. Isso já sugere que 1 pode ser o maior valor da função.

Passo 4

Analisemos o comportamento quando x cresce. Para x grande e positivo, \sqrt{x+3} também cresce sem limite (tende a +\infty). Como f(x)=1-\sqrt{x+3}, ao subtrair um número que vai a +\infty temos
\lim_{x\to\infty} f(x)=1-\infty=-\infty.
Isto significa que os valores de f descem sem limite inferior; não há menor valor finito. Então esperamos que a imagem seja um intervalo que vai até -\infty.

Passo 5

Agora vamos formalizar a imagem. Uma maneira clara é isolar a raiz e argumentar sobre os possíveis y=f(x). Seja
y=1-\sqrt{x+3}.
Isolando a raiz:
\sqrt{x+3}=1-y.
Como \sqrt{x+3} é um número real não negativo, o lado direito deve ser não negativo, então
1-y \ge 0 \quad\Rightarrow\quad y \le 1.
Isso mostra que qualquer valor y obtido pela função precisa satisfazer y\le 1. Logo a imagem está contida em (-\infty,1].

Passo 6

Para mostrar que todo y\le 1 é realmente atingido (ou seja, não há buracos no intervalo (-\infty,1]), resolvemos para x em função de y. A partir de \sqrt{x+3}=1-y elevando ao quadrado (lembrando que 1-y\ge0 garante consistência) temos
x+3=(1-y)^2.
Portanto
x=(1-y)^2-3.
Se y\le 1, então (1-y)^2 é um número não negativo e x=(1-y)^2-3\ge -3, ou seja, esse x pertence ao domínio encontrado. Substituindo esse x em f volta-se ao y inicial (pois fizemos as equivalências corretas). Logo, para todo y\le 1 existe um x no domínio tal que f(x)=y. Concluímos que a imagem é exatamente
(-\infty,1].

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para intuir: f(-3)=1 (máximo), f(6)=1-\sqrt{9}=1-3=-2 (um valor menor), e conforme x cresce mais, f(x) fica cada vez mais negativo. Isso confirma nosso resultado.

Resposta

Domínio: [-3,\infty)
Imagem: (-\infty,1]

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