Questão 1. (6pts) Encontre o domínio e a imagem de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas da função
: o domínio e a imagem.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.
Perguntas explícitas: - Qual é o domínio de
? - Qual é a imagem (conjunto de valores assumidos por
)?
Passo 2
Primeiro vamos entender o que limita o domínio. Quando aparece uma raiz quadrada real
, o radicando precisa ser não negativo para que a expressão seja real. Aqui o radicando é
. Então impomos a desigualdade
Resolvendo essa desigualdade subtraindo
dos dois lados, obtemos
Portanto todos os
válidos são os que satisfazem
, ou seja, o domínio é
Passo 3
Verificação do extremo do domínio: calculemos o valor de
no menor
do domínio,
:
Ou seja, no ponto
a função vale
. Isso já sugere que
pode ser o maior valor da função.
Passo 4
Analisemos o comportamento quando
cresce. Para
grande e positivo,
também cresce sem limite (tende a
). Como
, ao subtrair um número que vai a
temos
Isto significa que os valores de
descem sem limite inferior; não há menor valor finito. Então esperamos que a imagem seja um intervalo que vai até
.
Passo 5
Agora vamos formalizar a imagem. Uma maneira clara é isolar a raiz e argumentar sobre os possíveis
. Seja
Isolando a raiz:
Como
é um número real não negativo, o lado direito deve ser não negativo, então
Isso mostra que qualquer valor
obtido pela função precisa satisfazer
. Logo a imagem está contida em
.
Passo 6
Para mostrar que todo
é realmente atingido (ou seja, não há buracos no intervalo
), resolvemos para
em função de
. A partir de
elevando ao quadrado (lembrando que
garante consistência) temos
Portanto
Se
, então
é um número não negativo e
, ou seja, esse
pertence ao domínio encontrado. Substituindo esse
em
volta-se ao
inicial (pois fizemos as equivalências corretas). Logo, para todo
existe um
no domínio tal que
. Concluímos que a imagem é exatamente
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para intuir:
(máximo),
(um valor menor), e conforme
cresce mais,
fica cada vez mais negativo. Isso confirma nosso resultado.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: