Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
h(x)=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} x+2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}x+2}.
O que se pede:
  • Fazer o gráfico da função começando de uma função elementar e aplicando as transformações apropriadas (translações, alongamentos/compressões, reflexões, modulações).
  • Explicar quais são essas transformações (o que cada uma faz).
  • Determinar o domínio e a imagem da função.
Informações dadas: a expressão analítica de h(x) acima. Não há figura fornecida.

Passo 2

Escolhemos como função elementar de partida a função raiz quadrada básica
f(x)=\sqrt{x}.
Breve lembrete sobre f(x)=\sqrt{x}:
  • Domínio de f: \left[0,\infty\right), porque só podemos tirar raiz quadrada de números \ge0.
  • Imagem de f: \left[0,\infty\right), porque a raiz é não-negativa.
  • Forma do gráfico: começa em (0,0), cresce lentamente para a direita (curva com declive decrescente). Alguns pontos fáceis: (0,0), (1,1), (4,2).

Passo 3

Faça uma simplificação algébrica para ver as transformações com mais clareza. Dentro da raiz:
\frac{1}{2}x+2=\frac{1}{2}(x+4).
Então
h(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(x+4)}.
Usando \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} com a=\tfrac{1}{2} e b=x+4, obtemos
h(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\tfrac{1}{2}}\,\sqrt{x+4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{x+4}.
Essa forma deixa explícito que h é obtida a partir de \sqrt{x} por um deslocamento horizontal e um alongamento/compressão vertical.

Passo 4

Identificação das transformações (ordem prática para desenhar):
  1. Substituir x por x+4 em \sqrt{x}: isto desloca o gráfico horizontalmente para a esquerda em 4 unidades. Em geral, substituir x por x-a desloca para a direita a; substituir por x+a desloca para a esquerda a.
    • Aplicando a f, obtemos g(x)=\sqrt{x+4}. Pontos correspondentes: como \sqrt{x} tem (0,0),(1,1),(4,2), para g temos (-4,0),(-3,1),(0,2).
  2. Multiplicar o resultado por \dfrac{1}{2\sqrt{2}}: isto é uma compressão vertical pelo fator \dfrac{1}{2\sqrt{2}} (ou seja, todos os y são multiplicados por \dfrac{1}{2\sqrt{2}}). Como o fator é positivo, não há reflexão.
    • Aplicando a compressão vertical aos pontos de g: (-4,0) fica \left(-4,0\right); (-3,1) fica \left(-3,\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right); (0,2) fica \left(0,\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\right)=\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Resumo das transformações, em ordem prática para desenhar:
  • Translação horizontal para a esquerda de 4 unidades: \sqrt{x}\mapsto\sqrt{x+4}.
  • Compressão vertical por fator \dfrac{1}{2\sqrt{2}}: \sqrt{x+4}\mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{x+4}.
Observação técnica: originalmente havia um fator \tfrac{1}{2} multiplicando a raiz de \tfrac{1}{2}x+2; ao fatorar \tfrac{1}{2} de dentro da raiz obtemos um fator multiplicativo \sqrt{\tfrac{1}{2}} fora da raiz, que combinado com \tfrac{1}{2} externo dá \tfrac{1}{2\sqrt{2}}. Por isso a operação interna multiplicativa virou uma escala vertical (devido à propriedade da raiz).

Passo 5

Como analisar e desenhar o gráfico passo a passo (método prático para prova):
  • Desenhe o esboço de y=\sqrt{x}: começa em (0,0), cresce com concavidade para baixo.
  • Desloque tudo 4 unidades para a esquerda: o ponto inicial passa de (0,0) para (-4,0). A curva agora começa em (-4,0) e segue para a direita.
  • Comprima verticalmente multiplicando todas as ordenadas por \dfrac{1}{2\sqrt{2}} (essa é uma constante aproximadamente igual a \dfrac{1}{2\cdot1{,}4142}\approx0{,}3536). Assim a curva fica mais “achatada” na vertical, mas mantém o mesmo formato e o mesmo ponto inicial em y=0.
  • Pontos para marcar no esboço final (valores exatos e aproximados):
    • \bigl(-4,0\bigr).
    • \bigl(-3,\tfrac{1}{2\sqrt{2}}\bigr)\approx\bigl(-3,0{,}3536\bigr).
    • \bigl(0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\approx\bigl(0,0{,}7071\bigr).
  • Com esses pontos e sabendo que a curva cresce sem limite à direita (subindo como a raiz), consegue-se um esboço preciso suficiente para a prova.

Passo 6

Determinação do domínio (passo a passo):
  • A raiz exige que o argumento seja não-negativo:
\frac{1}{2}x+2\ge 0.
  • Resolva:
\frac{1}{2}x\ge -2 \quad\Rightarrow\quad x\ge -4.
  • Portanto o domínio é
\left[-4,\infty\right).

Passo 7

Determinação da imagem (passo a passo):
  • A raiz \sqrt{\cdot} produz valores \ge0.
  • O fator multiplicativo \dfrac{1}{2\sqrt{2}} é positivo; multiplicar por um número positivo não muda o sinal nem a propriedade de ser não-negativo.
  • No ponto mínimo do domínio x=-4 temos
h(-4)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(-4)+2}=\frac{1}{2}\sqrt{0}=0,
portanto 0 é atingido.
  • À medida que x\to\infty, \sqrt{\frac{1}{2}x+2}\to\infty, então h(x)\to\infty.
  • Logo a imagem é
\left[0,\infty\right).

Resposta

Transformações: translação horizontal para a esquerda de 4 unidades e compressão vertical pelo fator \dfrac{1}{2\sqrt{2}}.
Domínio: \left[-4,\infty\right)
Imagem: \left[0,\infty\right)

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