Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que se pede:
- Fazer o gráfico da função começando de uma função elementar e aplicando as transformações apropriadas (translações, alongamentos/compressões, reflexões, modulações).
- Explicar quais são essas transformações (o que cada uma faz).
- Determinar o domínio e a imagem da função.
Informações dadas: a expressão analítica de
acima. Não há figura fornecida.
Passo 2
Escolhemos como função elementar de partida a função raiz quadrada básica
Breve lembrete sobre
:
- Domínio de
: , porque só podemos tirar raiz quadrada de números . - Imagem de
: , porque a raiz é não-negativa. - Forma do gráfico: começa em
, cresce lentamente para a direita (curva com declive decrescente). Alguns pontos fáceis: , , .
Passo 3
Faça uma simplificação algébrica para ver as transformações com mais clareza. Dentro da raiz:
Então
Usando
com
e
, obtemos
Essa forma deixa explícito que
é obtida a partir de
por um deslocamento horizontal e um alongamento/compressão vertical.
Passo 4
Identificação das transformações (ordem prática para desenhar):
- Substituir
por em : isto desloca o gráfico horizontalmente para a esquerda em unidades. Em geral, substituir por desloca para a direita ; substituir por desloca para a esquerda . - Aplicando a
, obtemos . Pontos correspondentes: como tem , para temos .
- Aplicando a
- Multiplicar o resultado por
: isto é uma compressão vertical pelo fator (ou seja, todos os são multiplicados por ). Como o fator é positivo, não há reflexão. - Aplicando a compressão vertical aos pontos de
: fica ; fica ; fica .
- Aplicando a compressão vertical aos pontos de
Resumo das transformações, em ordem prática para desenhar:
- Translação horizontal para a esquerda de
unidades: . - Compressão vertical por fator
: .
Observação técnica: originalmente havia um fator
multiplicando a raiz de
; ao fatorar
de dentro da raiz obtemos um fator multiplicativo
fora da raiz, que combinado com
externo dá
. Por isso a operação interna multiplicativa virou uma escala vertical (devido à propriedade da raiz).
Passo 5
Como analisar e desenhar o gráfico passo a passo (método prático para prova):
- Desenhe o esboço de
: começa em , cresce com concavidade para baixo. - Desloque tudo 4 unidades para a esquerda: o ponto inicial passa de
para . A curva agora começa em e segue para a direita. - Comprima verticalmente multiplicando todas as ordenadas por
(essa é uma constante aproximadamente igual a ). Assim a curva fica mais “achatada” na vertical, mas mantém o mesmo formato e o mesmo ponto inicial em . - Pontos para marcar no esboço final (valores exatos e aproximados):
-
. -
. -
.
-
- Com esses pontos e sabendo que a curva cresce sem limite à direita (subindo como a raiz), consegue-se um esboço preciso suficiente para a prova.
Passo 6
Determinação do domínio (passo a passo):
- A raiz exige que o argumento seja não-negativo:
- Resolva:
- Portanto o domínio é
Passo 7
Determinação da imagem (passo a passo):
- A raiz
produz valores . - O fator multiplicativo
é positivo; multiplicar por um número positivo não muda o sinal nem a propriedade de ser não-negativo. - No ponto mínimo do domínio
temos
portanto
é atingido.
- À medida que
, , então . - Logo a imagem é
Resposta
Transformações: translação horizontal para a esquerda de
unidades e compressão vertical pelo fator
.
Domínio:
Imagem:
Domínio:
Imagem: