Transformadas de Laplace.
Lcos (a t)=ss^2+a^2, s>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função cos(a t). O conteúdo é Transformada de Laplace e vamos usar a definição Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt para s>0.

Passo 2

Denotamos I(s)=integral0^inftye^-stcos(at),dt. Para resolver, faremos integração por partes duas vezes: primeiro em I(s), depois em J(s)=integral0^inftye^-stsin(at),dt.

Passo 3

Aplicando integração por partes em I(s): escolhemos u=e^-st e dv=cos(at),dt. Então du=-s e^-st,dt e v=tfrac1asin(at). Obtemos
I(s)=le^-stsin(at)ar|0^infty+saintegral0^inftye^-stsin(at),dt
Como e^-stto0 quando ttoinfty e sin(0)=0, o termo de fronteira some, restando I(s)=tfracsaJ(s).

Passo 4

Agora calculamos J(s)=integral0^inftye^-stsin(at),dt por partes: tomamos u=e^-st, dv=sin(at),dt, logo du=-s e^-st,dt e v=-tfrac1acos(at). Assim
J(s)=l-e^-stcos(at)ar|0^infty-integral0^inftyl(-1acos(at)r)(-s e^-st),dt
O termo de fronteira vale 1/a, e o integral é (s/a)I(s). Logo J(s)=tfrac1a-tfracsaI(s).

Passo 5

Substituindo J(s) em I(s)=tfracsaJ(s), temos
I(s)=sal(1a-saI(s)r)=sa^2-s^2a^2I(s)
Reagrupando os termos de I(s):
I(s)l(1+s^2a^2r)=sa^2implies I(s)=s/a^2(a^2+s^2)/a^2=ss^2+a^2

Passo 6

Portanto, concluímos que Lcos(at)=dfracss^2+a^2 para s>0.

Resposta

dfracss^2+a^2, s>0.

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