Faça o gráfico das curvas abaixo.
r=3 cos (4 theta).

Passo 1

O enunciado pede para desenhar em coordenadas polares a curva dada por
r = 3 cos(4theta)
Aqui o conteúdo é “curvas em coordenadas polares”, mais especificamente as chamadas “rosas” definidas por r=acos(ktheta) ou r=asin(ktheta). Para resolver, vamos determinar onde r=0, onde r atinge máximo e mínimo, e como isso desenha os “pétalas” da rosa.

Passo 2

Primeiro achamos os valores de theta em que r=0. Como
r=0 iff cos(4theta)=0,
temos
4theta = pi2 + npi Longrightarrow theta = pi8 + npi4,
com ninZ. Esses valores de theta são as fronteiras de cada “pétala” (ponto onde o traço cruza a origem).

Passo 3

Agora determinamos os pontos de máximo e mínimo de r.
  1. Para cos(4theta)=1 temos
4theta = 2pi n Longrightarrow theta = npi2,
e rmax=3.
2. Para cos(4theta)=-1 temos
4theta = (2n+1)pi Longrightarrow theta = pi4 + npi2,
nesse caso r=-3, o que em coordenadas polares equivale a desenhar um ponto a distância 3 mas no sentido oposto, ou seja, adicionando pi ao ângulo.

Passo 4

Com isso concluímos que há ao todo 8 pétalas, cada uma de comprimento 3, apontando nos ângulos
theta = kpi4, k=0,1,2,dots,7
As pétalas em k par vêm de cos(4theta)=1 com r=3, e as em k ímpar vêm de cos(4theta)=-1 com r=-3 (deslocado em pi). A curva é simétrica em relação ao eixo polar e aos ângulos pi/8 + npi/4.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo polar (eixo x) e marcações angulares a cada pi/4.
  2. Em cada direção theta=kpi/4, marque o ponto a distância 3 do polo.
  3. Una suavemente esses pontos, formando oito pétalas idênticas.
    O resultado é uma “rosa” de 8 pétalas de raio 3.

Resposta

A curva r=3cos(4theta) é uma rosa de 8 pétalas, cada uma de comprimento 3, dispostas nos ângulos theta=kpi/4 para k=0,1,dots,7.

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