Faça o gráfico das curvas abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede o gráfico da curva polar definida por
Estamos fazendo um esboço de curva em coordenadas polares. Para isso precisamos (1) encontrar para quais
o
é real, (2) expressar
em função de
, e (3) identificar pontos-chave (zeros e máximos) para montar o esboço.
Passo 2
Como
, precisamos de
Isso ocorre quando
isto é,
Em cada intervalo tomamos a raiz não-negativa:
Passo 3
Analisando o laço em
:
- Nos extremos
e , temos e , logo . - No ponto médio
, , então
Esse trecho forma um laço único saindo da origem, crescendo até
em
, e voltando à origem em
.
Passo 4
O segundo laço em
é análogo e obtém-se novamenter
nos extremos
e
, atingindo
em
. Ele é o mesmo laço “virado” em
radianos, gerando simetria ao redor da origem.
Passo 5
Para visualizar globalmente, reconhecemos a forma de uma lemniscata de Bernoulli girada em
. Em coordenadas cartesianas pode-se mostrar que
mas para o desenho basta juntar os dois laços simétricos obtidos: um em
indo até
em
, e outro idêntico em
indo até
em
.
Resposta
O gráfico é uma lemniscata de Bernoulli com dois laços iguais:
- Primeiro laço para
, alcançando em . - Segundo laço para
, alcançando em .