Faça o gráfico das curvas abaixo.
r^2=9 sen(2 theta).

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da curva polar definida por
r^2 = 9,sen(2theta)
Estamos fazendo um esboço de curva em coordenadas polares. Para isso precisamos (1) encontrar para quais theta o r é real, (2) expressar r em função de theta, e (3) identificar pontos-chave (zeros e máximos) para montar o esboço.

Passo 2

Como r^2>= 0, precisamos de
sen(2theta)>= 0
Isso ocorre quando
2thetain [0,pi]cup[2pi,3pi]pmod2pi,
isto é,
thetain [0,tfracpi2]cup[pi,tfrac3pi2]
Em cada intervalo tomamos a raiz não-negativa:
r(theta) = 3raizsen(2theta)

Passo 3

Analisando o laço em thetain [0,tfracpi2]:
  • Nos extremos theta=0 e theta=tfracpi2, temos sen(0)=0 e sen(pi)=0, logo r=0.
  • No ponto médio theta=tfracpi4, sen(2cdottfracpi4)=sen(tfracpi2)=1, então
rmax=3raiz1=3
Esse trecho forma um laço único saindo da origem, crescendo até r=3 em theta=tfracpi4, e voltando à origem em theta=tfracpi2.

Passo 4

O segundo laço em thetain[pi,tfrac3pi2] é análogo e obtém-se novamenter r=0 nos extremos pi e tfrac3pi2, atingindo rmax=3 em theta=tfrac5pi4. Ele é o mesmo laço “virado” em pi radianos, gerando simetria ao redor da origem.

Passo 5

Para visualizar globalmente, reconhecemos a forma de uma lemniscata de Bernoulli girada em 45^circ. Em coordenadas cartesianas pode-se mostrar que
(x^2+y^2)^2 = 18,xy,
mas para o desenho basta juntar os dois laços simétricos obtidos: um em [0,tfracpi2] indo até r=3 em theta=tfracpi4, e outro idêntico em [pi,tfrac3pi2] indo até r=3 em theta=tfrac5pi4.

Resposta

O gráfico é uma lemniscata de Bernoulli com dois laços iguais:
  • Primeiro laço para thetain[0,tfracpi2], alcançando r=3 em theta=tfracpi4.
  • Segundo laço para thetain[pi,tfrac3pi2], alcançando r=3 em theta=tfrac5pi4.

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