Uma célula de forma esférica com volume
tem uma área externa
.
a) Expresse
em função de
.
b) Se duplicamos
, qual é o aumento em
?
c) Se duplicamos
, qual é o aumento em
?
d) Se multiplicarmos
por
, qual é o aumento em
? Deixe sua resposta em função de
.
e) Se multiplicarmos
por
, qual é o aumento em
? Deixe sua resposta em função de
.
a) Expresse
b) Se duplicamos
c) Se duplicamos
d) Se multiplicarmos
e) Se multiplicarmos
Passo 1
O enunciado dá uma célula esférica e pede relações entre o volume
e a área externa
quando um deles é alterado. Perguntas concretas:
- (a) Expressar
em função de . - (b) Se duplicarmos
(isto é, passamos de para ), qual é o aumento em ? - (c) Se duplicarmos
(isto é, passamos de para ), qual é o aumento em ? - (d) Se multiplicarmos
por (isto é, ), qual é o aumento em em função de ? - (e) Se multiplicarmos
por (isto é, ), qual é o aumento em em função de ?
Informações relevantes dadas (implícitas pela forma esférica):
- Raio da esfera:
. - Fórmulas conhecidas para esfera (vamos usá-las no passo seguinte).
Passo 2
Relembrando e explicando as fórmulas básicas para uma esfera:
- A área de superfície (externa) da esfera de raio
é . - Aqui
é a área, é a constante e é o raio.
- Aqui
- O volume da esfera de raio
é . - Aqui
é o volume. Essas duas fórmulas são padrão e você deve memorizá-las para provas.
- Aqui
Vou usar essas fórmulas para eliminar
e relacionar
e
.
Passo 3
Derivar
em função de
: primeiro isolo
em
.
Tomando raiz quadrada (raio é positivo):
Explico a operação:
é a função que dá o valor positivo cuja quadrado é o argumento. Aqui usamos que
.
Passo 4
Substituo esse
na fórmula do volume
.
Primeiro escrevo . Como
, temos
Primeiro escrevo
Então
Passo 5
Agora simplifico a expressão passo a passo, usando regras de potências:
Substituindo:
Separe fatores:
Calcule
:
, então
. Para as potências de
:
. Logo
Portanto a forma final é
Passo 6
Resposta da parte (a) já obtida:
.
Agora vamos às partes que envolvem alterar ou
. Uma observação útil (que usarei muitas vezes): a relação obtida implica que
é proporcional a
, ou seja
Agora vamos às partes que envolvem alterar
Invertendo a relação, isolando
em função de
: a partir de
temos
e portanto
Mas para os cálculos de fator de mudança é mais direto trabalhar com potências: se
, então
. Essas leis de potência vão governar os fatores.
Passo 7
(b) Duplicar
:
. Queremos
em função de
.
Usando (ou alternadamente manipular diretamente):
Usando
Logo o fator multiplicativo em
é
. O aumento relativo (fração adicional) é
. Em porcentagem:
Para ter uma ideia numérica,
, ou seja aumento de aproximadamente
.
Passo 8
(c) Duplicar
:
. Como
,
Então o fator multiplicativo em
é
. O aumento relativo é
. Em porcentagem:
Numericamente
, ou seja aumento de aproximadamente
.
Passo 9
(d) Multiplicar
por
:
. Pelo mesmo raciocínio de potências (ou invertendo a relação de (a)):
Logo
O aumento relativo é
. Isso é válido para qualquer
.
Passo 10
(e) Multiplicar
por
:
. Como
,
Portanto
e o aumento relativo é
.
Resposta
(a)
(b)
. Aumento relativo:
(≈
, ou
).
(c)
. Aumento relativo:
(≈
, ou
).
(d)
. Aumento relativo:
.
(e)
. Aumento relativo:
.