Uma célula de forma esférica com volume V tem uma área externa A.
a) Expresse V em função de A.
b) Se duplicamos V, qual é o aumento em A ?
c) Se duplicamos A, qual é o aumento em V ?
d) Se multiplicarmos V por n, qual é o aumento em A ? Deixe sua resposta em função de n.
e) Se multiplicarmos A por n, qual é o aumento em V ? Deixe sua resposta em função de n.

Passo 1

O enunciado dá uma célula esférica e pede relações entre o volume V e a área externa A quando um deles é alterado. Perguntas concretas:
  • (a) Expressar V em função de A.
  • (b) Se duplicarmos V (isto é, passamos de V para 2V), qual é o aumento em A?
  • (c) Se duplicarmos A (isto é, passamos de A para 2A), qual é o aumento em V?
  • (d) Se multiplicarmos V por n (isto é, V\to nV), qual é o aumento em A em função de n?
  • (e) Se multiplicarmos A por n (isto é, A\to nA), qual é o aumento em V em função de n?
Informações relevantes dadas (implícitas pela forma esférica):
  • Raio da esfera: r.
  • Fórmulas conhecidas para esfera (vamos usá-las no passo seguinte).

Passo 2

Relembrando e explicando as fórmulas básicas para uma esfera:
  • A área de superfície (externa) da esfera de raio r é \displaystyle A = 4\pi r^{2}.
    • Aqui A é a área, \pi é a constante \approx 3{,}14159 e r é o raio.
  • O volume da esfera de raio r é \displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
    • Aqui V é o volume. Essas duas fórmulas são padrão e você deve memorizá-las para provas.
Vou usar essas fórmulas para eliminar r e relacionar V e A.

Passo 3

Derivar V em função de A: primeiro isolo r em \displaystyle A = 4\pi r^{2}.
r^{2} = \frac{A}{4\pi}
Tomando raiz quadrada (raio é positivo):
r = \sqrt{\frac{A}{4\pi}}.
Explico a operação: \sqrt{\cdot} é a função que dá o valor positivo cuja quadrado é o argumento. Aqui usamos que r\ge 0.

Passo 4

Substituo esse r na fórmula do volume \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Primeiro escrevo r^{3} = \big(r^{2}\big)^{3/2}. Como r^{2}=\dfrac{A}{4\pi}, temos
r^{3} = \left(\frac{A}{4\pi}\right)^{3/2}.
Então
V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{A}{4\pi}\right)^{3/2}.

Passo 5

Agora simplifico a expressão passo a passo, usando regras de potências:
\left(\frac{A}{4\pi}\right)^{3/2} = \frac{A^{3/2}}{(4\pi)^{3/2}}.
Substituindo:
V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{A^{3/2}}{(4\pi)^{3/2}}.
Separe fatores:
V = \frac{4}{3} \cdot \frac{\pi}{4^{3/2}\pi^{3/2}} \cdot A^{3/2}.
Calcule 4^{3/2}: 4^{1/2}=2, então 4^{3/2}=2^{3}=8. Para as potências de \pi: \pi/\pi^{3/2}=\pi^{-1/2}=1/\sqrt{\pi}. Logo
V = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot A^{3/2}.
V = \frac{4}{24}\cdot\frac{A^{3/2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{6}\cdot\frac{A^{3/2}}{\sqrt{\pi}}.
Portanto a forma final é
V = \frac{A^{3/2}}{6\sqrt{\pi}}.

Passo 6

Resposta da parte (a) já obtida: \displaystyle V=\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{\pi}}.
Agora vamos às partes que envolvem alterar V ou A. Uma observação útil (que usarei muitas vezes): a relação obtida implica que V é proporcional a A^{3/2}, ou seja
V \propto A^{3/2}.
Invertendo a relação, isolando A em função de V: a partir de V=\dfrac{A^{3/2}}{6\sqrt{\pi}} temos
A^{3/2} = 6\sqrt{\pi}\,V
e portanto
A = \big(6\sqrt{\pi}\,V\big)^{2/3}.
Mas para os cálculos de fator de mudança é mais direto trabalhar com potências: se V\propto A^{3/2}, então A\propto V^{2/3}. Essas leis de potência vão governar os fatores.

Passo 7

(b) Duplicar V: V_{\text{novo}}=2V. Queremos A_{\text{novo}} em função de A.
Usando A\propto V^{2/3} (ou alternadamente manipular diretamente):
A_{\text{novo}} = \big(6\sqrt{\pi}\,V_{\text{novo}}\big)^{2/3} = \big(6\sqrt{\pi}\cdot 2V\big)^{2/3}.
A_{\text{novo}} = 2^{2/3}\big(6\sqrt{\pi}\,V\big)^{2/3} = 2^{2/3}\,A.
Logo o fator multiplicativo em A é 2^{2/3}. O aumento relativo (fração adicional) é 2^{2/3}-1. Em porcentagem:
\text{aumento percentual em }A = \big(2^{2/3}-1\big)\times 100\%.
Para ter uma ideia numérica, 2^{2/3}\approx 1{,}5874, ou seja aumento de aproximadamente 58{,}74\%.

Passo 8

(c) Duplicar A: A_{\text{novo}}=2A. Como V\propto A^{3/2},
V_{\text{novo}} = (2A)^{3/2}\cdot\left(\frac{1}{6\sqrt{\pi}}\right) = 2^{3/2} \cdot \frac{A^{3/2}}{6\sqrt{\pi}} = 2^{3/2} V.
Então o fator multiplicativo em V é 2^{3/2}. O aumento relativo é 2^{3/2}-1. Em porcentagem:
\text{aumento percentual em }V = \big(2^{3/2}-1\big)\times 100\%.
Numericamente 2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}8284, ou seja aumento de aproximadamente 182{,}84\%.

Passo 9

(d) Multiplicar V por n: V_{\text{novo}}=nV. Pelo mesmo raciocínio de potências (ou invertendo a relação de (a)):
A_{\text{novo}} \propto V_{\text{novo}}^{2/3} = (nV)^{2/3} = n^{2/3} V^{2/3}.
Logo
A_{\text{novo}} = n^{2/3} A.
O aumento relativo é n^{2/3}-1. Isso é válido para qualquer n>0.

Passo 10

(e) Multiplicar A por n: A_{\text{novo}}=nA. Como V\propto A^{3/2},
V_{\text{novo}} = (nA)^{3/2}\cdot\frac{1}{6\sqrt{\pi}} = n^{3/2}\,\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{\pi}} = n^{3/2}V.
Portanto
V_{\text{novo}} = n^{3/2} V,
e o aumento relativo é n^{3/2}-1.

Resposta

(a) \displaystyle V=\frac{A^{3/2}}{6\sqrt{\pi}}
(b) \displaystyle A_{\text{novo}}=2^{2/3}A. Aumento relativo: \displaystyle 2^{2/3}-1 (≈ 0{,}5874, ou 58{,}74\%).
(c) \displaystyle V_{\text{novo}}=2^{3/2}V. Aumento relativo: \displaystyle 2^{3/2}-1 (≈ 1{,}8284, ou 182{,}84\%).
(d) \displaystyle A_{\text{novo}}=n^{2/3}A. Aumento relativo: \displaystyle n^{2/3}-1.
(e) \displaystyle V_{\text{novo}}=n^{3/2}V. Aumento relativo: \displaystyle n^{3/2}-1.

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