Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.
f(x)=4-3 x2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{4 - 3x}{2} $ e precisa desenhar o gráfico dela e descobrir qual é o conjunto imagem dessa função. Isso está relacionado ao conteúdo de funções lineares e seus gráficos. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o ponto de interseção com o eixo y e a inclinação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização. A função dada é:
f(x) = 4 - 3x2
Isso pode ser separado em duas partes:
f(x) = 42 - 3x2 = 2 - 32x
Agora, está mais claro que a função é uma reta do tipo $ y = mx + b $, onde $ m $ é a inclinação e $ b $ é o ponto onde a reta corta o eixo y.

Passo 3

Vamos identificar o ponto de interseção com o eixo y, que é o valor de $ f(x) $ quando $ x = 0 $:
f(x)
Então, o ponto de interseção é $ (0, 2) $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta, que é o coeficiente de $ x $ na função:
x
Isso significa que para cada aumento de 1 unidade em $ x $, o valor de $ f(x) $ diminui $ \frac{3}{2} $ unidades.

Passo 5

Vamos escolher outro valor para $ x $ para encontrar outro ponto no gráfico. Vamos escolher $ x = 2 $:
x
Então, o segundo ponto é $ (2, -1) $.

Passo 6

Com os dois pontos $ (0, 2) $ e $ (2, -1) $, podemos desenhar a reta que representa a função $ f(x) $. Ao traçar esses pontos no gráfico e conectar com uma linha reta, teremos o gráfico completo da função.

Passo 7

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis de $ f(x) $. Como essa é uma função linear e a reta se estende infinitamente em ambas as direções, o conjunto imagem inclui todos os números reais.

Resposta

O conjunto imagem da função $ f(x) = \frac{4 - 3x}{2} $ é todos os números reais, representado por $ \mathbb{R} $.

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