Faça um gráfico da energia total E versus o momento p, para uma partícula de massa em repouso m_{0}, para os casos (a) partícula clássica (b) partícula relativística e (c) partícula de massa em repouso 0. (d) Em que região a curva (b) se aproxima da curva (a) e em que região a curva (b) se aproxima da curva (c)? (e) Explique, brevemente, o significado físico das interseções das curvas com os eixos, e das suas tangentes (derivadas).

Passo 1

O enunciado pede o esboço de um gráfico de energia total E em função do momento p para três casos distintos: (a) partícula clássica de massa em repouso m_0, (b) partícula relativística de mesma massa, (c) partícula de massa em repouso zero. Depois, em (d) determinar em que região do momento a curva relativística se aproxima da clássica e em que região se aproxima da de massa nula, e em (e) dar significado físico das interseções com os eixos e das tangentes.

Passo 2

Escrevemos as três dependências teóricas de E(p) e descrevemos as formas das curvas:
E_{\rm cl}(p)=\frac{p^2}{2\,m_0},
curva parabólica que passa por (p=0,E=0).
E_{\rm rel}(p)=\sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4},
curva que em p=0 vale E=m_0c^2 e para grandes p tende a uma reta de inclinação c.
E_{0}(p)=p\,c,
reta passando pela origem com inclinação c.
No esboço, a curva (a) abre para cima como uma parábola iniciando em (0,0), a curva (b) inicia em (0,m_0c^2) crescendo suavemente e se aproximando assintoticamente de uma reta, e a curva (c) é exatamente essa reta.

Passo 3

Para identificar as regiões de aproximação (item d), fazemos limites da expressão relativística:
Para p\ll m_0c, expandindo raiz de segunda ordem,
E_{\rm rel}(p)\approx m_0c^2 + \frac{p^2}{2\,m_0}\,,
isto é, a energia de repouso mais o termo clássico. Logo em baixíssimos momentos a curva (b) coincide com a parábola (a), deslocada para cima por m_0c^2.
Para p\gg m_0c, temos
E_{\rm rel}(p)\approx p\,c,
de modo que em altos momentos a curva (b) se aproxima da reta (c).

Passo 4

No item (e) interpretamos:
– Interseção com o eixo p=0:
E_{\rm cl}(0)=0 (nenhuma energia sem movimento).
E_{\rm rel}(0)=m_0c^2 é a energia de repouso.
E_{0}(0)=0, pois massa nula não tem energia de repouso.
– Tangente (derivada) em cada ponto corresponde à velocidade da partícula:
\frac{dE}{dp} = v.
Para o caso clássico \frac{dE_{\rm cl}}{dp}=p/m_0, para o relativístico \frac{dE_{\rm rel}}{dp}=pc^2/E_{\rm rel}=v, e para massa nula \frac{dE_{0}}{dp}=c. Portanto, a inclinação da curva em cada ponto dá a velocidade da partícula naquele momento.

Resposta

(a) E_{\rm cl}(p)=\frac{p^2}{2m_0}, parábola iniciando em (0,0).
(b) E_{\rm rel}(p)=\sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4}, curva que em p=0 vale m_0c^2 e se torna assintoticamente reta de inclinação c.
(c) E_{0}(p)=p\,c, reta pela origem com inclinação c.
(d) Para p\ll m_0c, E_{\rm rel}(p)\approx m_0c^2 + \tfrac{p^2}{2m_0} e a curva (b) aproxima (a); para p\gg m_0c, E_{\rm rel}(p)\approx p\,c e (b) aproxima (c).
(e) A interseção em p=0 dá a energia de repouso ( 0 no clássico e no massa zero, m_0c^2 no relativístico); a derivada \tfrac{dE}{dp} é a velocidade da partícula, logo a inclinação da tangente representa v.

Exercícios relacionados