Faça um gráfico da energia total
versus o momento
, para uma partícula de massa em repouso
, para os casos (a) partícula clássica (b) partícula relativística e (c) partícula de massa em repouso 0. (d) Em que região a curva (b) se aproxima da curva (a) e em que região a curva (b) se aproxima da curva (c)? (e) Explique, brevemente, o significado físico das interseções das curvas com os eixos, e das suas tangentes (derivadas).
Passo 1
O enunciado pede o esboço de um gráfico de energia total
em função do momento
para três casos distintos: (a) partícula clássica de massa em repouso
, (b) partícula relativística de mesma massa, (c) partícula de massa em repouso zero. Depois, em (d) determinar em que região do momento a curva relativística se aproxima da clássica e em que região se aproxima da de massa nula, e em (e) dar significado físico das interseções com os eixos e das tangentes.
Passo 2
Escrevemos as três dependências teóricas de
e descrevemos as formas das curvas:
curva parabólica que passa por
.
curva que em
vale
e para grandes
tende a uma reta de inclinação
.
reta passando pela origem com inclinação
.
No esboço, a curva (a) abre para cima como uma parábola iniciando em
, a curva (b) inicia em
crescendo suavemente e se aproximando assintoticamente de uma reta, e a curva (c) é exatamente essa reta.
Passo 3
Para identificar as regiões de aproximação (item d), fazemos limites da expressão relativística:
Para
, expandindo raiz de segunda ordem,
isto é, a energia de repouso mais o termo clássico. Logo em baixíssimos momentos a curva (b) coincide com a parábola (a), deslocada para cima por
.
Para
, temos
de modo que em altos momentos a curva (b) se aproxima da reta (c).
Passo 4
No item (e) interpretamos:
– Interseção com o eixo
:
• (nenhuma energia sem movimento).
• é a energia de repouso.
• , pois massa nula não tem energia de repouso.
•
•
•
– Tangente (derivada) em cada ponto corresponde à velocidade da partícula:
Para o caso clássico
, para o relativístico
, e para massa nula
. Portanto, a inclinação da curva em cada ponto dá a velocidade da partícula naquele momento.
Resposta
(a)
, parábola iniciando em
.
(b) , curva que em
vale
e se torna assintoticamente reta de inclinação
.
(c) , reta pela origem com inclinação
.
(d) Para ,
e a curva (b) aproxima (a); para
,
e (b) aproxima (c).
(e) A interseção em dá a energia de repouso (
no clássico e no massa zero,
no relativístico); a derivada
é a velocidade da partícula, logo a inclinação da tangente representa
.
(b)
(c)
(d) Para
(e) A interseção em