(a) Mostre que uma partícula que caminha com a velocidade da luz deve ter uma massa em repouso nula. (b) Mostre que para uma partícula de massa em repouso nula, u=c, K=E e $p=E / c.

Passo 1

O enunciado pede em (a) mostrar que uma partícula que caminha à velocidade da luz deve ter massa de repouso nula, e em (b) que para uma partícula com massa de repouso nula valem u=c, K=E e p=E/c. Vamos usar as fórmulas da relatividade restrita: fator de Lorentz \gamma, energia total E, momento p e a relação invariante
E^2 - p^2 c^2 = m_0^2 c^4.

Passo 2

Para uma partícula de massa de repouso m_0 e velocidade u, o fator de Lorentz é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}.
Se u\to c, então 1 - u^2/c^2\to 0 e \gamma\to\infty. Como a energia total é
E = \gamma\,m_0\,c^2,
para que E seja finita é necessário m_0 = 0. Logo, uma partícula que viaja à velocidade da luz tem massa de repouso nula.

Passo 3

Com m_0=0, a relação invariável entre energia e momento
E^2 - p^2 c^2 = m_0^2 c^4
torna-se
E^2 - p^2 c^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad E = p\,c.
Em relatividade também vale
u = \frac{c^2\,p}{E},
logo, substituindo E = p\,c, vem
u = \frac{c^2\,p}{p\,c} = c.
A energia cinética é
K = E - m_0\,c^2;
como m_0=0, segue K=E. E de E = p\,c obtemos
p = \frac{E}{c}.

Resposta

(a) m_0 = 0.
(b) u = c, K = E e p = E/c.

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