Considere a função
definida em
. Determine (se houver):
os pontos críticos e os pontos de inflexão;
os pontos críticos e os pontos de inflexão;
Passo 1
O exercício pede para a gente estudar a função
e encontrar os pontos críticos (onde
) e os pontos de inflexão (onde
), usando regras de derivação (produto e cadeia).
Passo 2
Para calcular a derivada primeira, aplicamos a regra do produto em
e
e a regra da cadeia na exponencial. Temos:
$$f’(x)=\frac{d}{dx}(x2),e{(1-2x)}+x2,\frac{d}{dx}\bigl(e{(1-2x)}\bigr)
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
. Como
nunca é zero, basta resolver
Os valores de
$$f(0)=02e1=0,
\quad f(1)=12e{-1}=\frac1e.$$
Passo 4
Para estudar os pontos de inflexão, calculamos a derivada segunda. Partindo de
, de novo regra do produto e cadeia:
$$f’’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x(1-x)\bigr)e{(1-2x)}+2x(1-x),\frac{d}{dx}\bigl(e{(1-2x)}\bigr).
$$
Passo 5
Os pontos de inflexão satisfazem
. Como
, resolvemos
$$4x^2-8x+2=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{8\pm\sqrt{64-32}}{8}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}.
Resposta
Pontos críticos: em
com
e em
com
.
Pontos de inflexão: em
e
, com