Considere a função f(x)=x^2 e^(1-2 x) definida em R. Determine (se houver):
os pontos críticos e os pontos de inflexão;

Passo 1

O exercício pede para a gente estudar a função f(x)=x^2e^(1-2x) e encontrar os pontos críticos (onde f'=0) e os pontos de inflexão (onde f''=0), usando regras de derivação (produto e cadeia).

Passo 2

Para calcular a derivada primeira, aplicamos a regra do produto em x^2 e e^(1-2x) e a regra da cadeia na exponencial. Temos:
$$f’(x)=\frac{d}{dx}(x2),e{(1-2x)}+x2,\frac{d}{dx}\bigl(e{(1-2x)}\bigr)
f'(x)=ddx(x^2),e^(1-2x)+x^2,ddxl(e^(1-2x)r) f’(x)=2x,e{(1-2x)}-2x2,e{(1-2x)}=2x(1-x)e{(1-2x)}.$$

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0. Como e^(1-2x) nunca é zero, basta resolver
2x(1-x)=0Longrightarrow x=0 ou x=1
Os valores de f nesses pontos são
$$f(0)=02e1=0,
\quad f(1)=12e{-1}=\frac1e.$$

Passo 4

Para estudar os pontos de inflexão, calculamos a derivada segunda. Partindo de f'(x)=2x(1-x)e^(1-2x), de novo regra do produto e cadeia:
$$f’’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x(1-x)\bigr)e{(1-2x)}+2x(1-x),\frac{d}{dx}\bigl(e{(1-2x)}\bigr).
f''(x)=ddxl(2x(1-x)r)e^(1-2x)+2x(1-x),ddxl(e^(1-2x)r) f’’(x)=e{(1-2x)}\bigl(g’(x)-2g(x)\bigr)=e{(1-2x)}(4x^2-8x+2).
$$

Passo 5

Os pontos de inflexão satisfazem f''(x)=0. Como e^(1-2x)neq0, resolvemos
$$4x^2-8x+2=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{8\pm\sqrt{64-32}}{8}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}.
4x^2-8x+2=0Longrightarrow x=8pmraiz64-328=1pmraiz22 ããããf\Bigl(1\pm\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)=\Bigl(1\pm\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)2e{\bigl(1-2(1\pm\tfrac{\sqrt2}{2})\bigr)}.$$

Resposta

Pontos críticos: em x=0 com f(0)=0 e em x=1 com f(1)=1/e.
Pontos de inflexão: em x=1-tfracraiz22 e x=1+tfracraiz22, com
fl(1pmtfracraiz22r)=l(1pmtfracraiz22r)^2e^1-2(1pmtfracraiz22)

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