Cada um dos exercícios a)-d ) dá uma função f(x), um ponto x_{0} e um número positivo \epsilon. Determine L=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x). Em seguida, determine um número \delta>0 de modo que para todo x
0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon
f(x)=4 / x, x_{0}=2, \epsilon=0,4

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x)=\dfrac{4}{x}.
  • O ponto x_{0}=2.
  • O número \epsilon=0,4.
Pede-se:
  1. Determinar L=\lim_{x\to x_{0}} f(x).
  2. Encontrar um \delta>0 tal que, para todo x,
0<|x-x_{0}|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\epsilon.

Passo 2

Primeiro calculemos o limite L. Como f é uma função racional sem problema em x=2 (denominador não nulo), basta substituir x=2:
L=\lim_{x\to 2}\frac{4}{x}=\frac{4}{2}=2.

Passo 3

Agora vamos trabalhar a condição de desigualdade com \epsilon. Queremos controlar
|f(x)-L|=\left|\frac{4}{x}-2\right|.
Faço uma manipulação algébrica para expressar em termos de |x-2|:
\left|\frac{4}{x}-2\right|=\left|\frac{4-2x}{x}\right|=\left|\frac{2(2-x)}{x}\right|=\frac{2|x-2|}{|x|}.

Passo 4

Temos então a condição equivalente
\frac{2|x-2|}{|x|}<\epsilon.
Com \epsilon=0,4 isso fica
\frac{2|x-2|}{|x|}<0,4 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-2|<0,2\,|x|.
Esse último desigualdade ainda envolve |x| do lado direito, o que complica um pouco. A estratégia padrão é forçar |x| a ficar bem próximo de 2 (portanto longe de 0), escolhendo \delta pequeno; assim podemos substituir |x| por uma constante inferior positiva.

Passo 5

Escolhemos garantir que |x-2|<1. Isso garante que x\in(1,3) e, em particular, |x|>1. Se |x|>1, então
\frac{2|x-2|}{|x|}<2|x-2|.
Logo, para obter \dfrac{2|x-2|}{|x|}<0,4 basta pedir 2|x-2|<0,4, isto é |x-2|<0,2.
Portanto, se garantirmos simultaneamente
|x-2|<1\quad\text{e}\quad |x-2|<0,2,
teremos |f(x)-2|<0,4.

Passo 6

Escolhemos então
\delta=\min\{1,\,0,2\}=0,2.
Verificação final: suponha 0<|x-2|<\delta=0,2. Então em particular |x-2|<1, logo |x|>1. Usando a expressão do Passo 3,
|f(x)-2|=\frac{2|x-2|}{|x|}\le 2|x-2|<2\cdot 0,2=0,4=\epsilon.
Isso prova que a escolha \delta=0,2 funciona.

Resposta

L=2
\delta=0,2

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