Cada um dos exercícios a)-d ) dá uma função f(x), um ponto x_{0} e um número positivo \epsilon. Determine L=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x). Em seguida, determine um número \delta>0 de modo que para todo x
Esse último desigualdade ainda envolve |x| do lado direito, o que complica um pouco. A estratégia padrão é forçar |x| a ficar bem próximo de 2 (portanto longe de 0), escolhendo \delta pequeno; assim podemos substituir |x| por uma constante inferior positiva.
Passo 5
Escolhemos garantir que |x-2|<1. Isso garante que x\in(1,3) e, em particular, |x|>1. Se |x|>1, então
\frac{2|x-2|}{|x|}<2|x-2|.
Logo, para obter \dfrac{2|x-2|}{|x|}<0,4 basta pedir 2|x-2|<0,4, isto é |x-2|<0,2.
Portanto, se garantirmos simultaneamente
|x-2|<1\quad\text{e}\quad |x-2|<0,2,
teremos |f(x)-2|<0,4.
Passo 6
Escolhemos então
\delta=\min\{1,\,0,2\}=0,2.
Verificação final: suponha 0<|x-2|<\delta=0,2. Então em particular |x-2|<1, logo |x|>1. Usando a expressão do Passo 3,