Faça o gráfico da função abaixo seguindo o roteiro abaixo:
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que
é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos.
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado nos pede para esboçar o gráfico da função racional
, seguindo as etapas de domínio, assíntotas, monotonia, extremos e concavidade. Vamos usar derivadas para estudar crescimento e concavidade.
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos onde o denominador se anula. Resolvendo
obtemos
ou
. Portanto o domínio é .
Passo 3
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera:
e
. Como
, há assíntota horizontal
.
Passo 4
Para estudar a monotonia, calculamos a primeira derivada usando regra da cadeia:
O denominador ao quadrado é sempre positivo no domínio, logo o sinal de
vem de
. Assim:
-
se ou seja . -
se ou seja .
Interseções com o domínio dão crescimento eme decrescimento em . O único ponto crítico interno é .
Passo 5
Para classificar o ponto crítico, avaliamos o sinal de
antes e depois de
: cresce para a esquerda e decresce para a direita, portanto há um máximo local em
. O valor é $$s\bigl(-\tfrac12\bigr)=\frac{1}{(-\tfrac12)^{2}+(-\tfrac12)-2}=\frac{1}{-9/4}=-\tfrac{4}{9}.
$$
Passo 6
Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
O numerador
é sempre positivo, então o sinal de
segue o de
. Como
se
ou
, há concavidade para cima nesses intervalos. Para
a função é côncava para baixo. Não há pontos de inflexão, pois
não se anula.
Passo 7
Com todas essas informações podemos esboçar o gráfico: troncos em cada intervalo do domínio, com assíntotas verticais em
e horizontal em
, crescendo até
onde há máximo local
, depois decresce, e muda de concavidade conforme descrito.
Resposta
Domínio: (-∞,-2) ∪ (-2,1) ∪ (1,∞).
Assíntotas verticais: x = -2 e x = 1.
Assíntota horizontal: y = 0.
Crescente em (-∞,-2) e (-2,-1/2); decrescente em (-1/2,1) e (1,∞).
Máximo local em (-1/2, -4/9).
Concavidade para cima em (-∞,-2) e (1,∞); concavidade para baixo em (-2,1); sem pontos de inflexão.
Assíntotas verticais: x = -2 e x = 1.
Assíntota horizontal: y = 0.
Crescente em (-∞,-2) e (-2,-1/2); decrescente em (-1/2,1) e (1,∞).
Máximo local em (-1/2, -4/9).
Concavidade para cima em (-∞,-2) e (1,∞); concavidade para baixo em (-2,1); sem pontos de inflexão.