Faça o gráfico da função abaixo seguindo o roteiro abaixo:
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que f(x) é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos.
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
s(x)=1x^2+x-2

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar o gráfico da função racional s(x)=1x^2+x-2, seguindo as etapas de domínio, assíntotas, monotonia, extremos e concavidade. Vamos usar derivadas para estudar crescimento e concavidade.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos onde o denominador se anula. Resolvendo x^2+x-2=0 obtemos x=-2 ou x=1. Portanto o domínio é .

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera: x=-2 e x=1. Como limxtopminftys(x)=0, há assíntota horizontal y=0.

Passo 4

Para estudar a monotonia, calculamos a primeira derivada usando regra da cadeia:
s'(x)=-,(2x+1),(x^2+x-2)^-2=-2x+1(x^2+x-2)^2
O denominador ao quadrado é sempre positivo no domínio, logo o sinal de s' vem de -(2x+1). Assim:
  • s'(x)>0 se 2x+1<0 ou seja x<-tfrac12.
  • s'(x)<0 se 2x+1>0 ou seja x>-tfrac12.
    Interseções com o domínio dão crescimento em (-tfrac12,1)cup(1,nobreakinfty) e decrescimento em . O único ponto crítico interno é x=-tfrac12.

Passo 5

Para classificar o ponto crítico, avaliamos o sinal de s' antes e depois de x=-tfrac12: cresce para a esquerda e decresce para a direita, portanto há um máximo local em x=-tfrac12. O valor é $$s\bigl(-\tfrac12\bigr)=\frac{1}{(-\tfrac12)^{2}+(-\tfrac12)-2}=\frac{1}{-9/4}=-\tfrac{4}{9}.
$$

Passo 6

Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
s''(x)=6,x^2+x+1(x^2+x-2)^3
O numerador x^2+x+1 é sempre positivo, então o sinal de s'' segue o de (x^2+x-2)^3. Como x^2+x-2>0 se x<-2 ou x>1, há concavidade para cima nesses intervalos. Para -2 a função é côncava para baixo. Não há pontos de inflexão, pois s''(x) não se anula.

Passo 7

Com todas essas informações podemos esboçar o gráfico: troncos em cada intervalo do domínio, com assíntotas verticais em x=-2,1 e horizontal em y=0, crescendo até x=-tfrac12 onde há máximo local (-tfrac12,-4/9), depois decresce, e muda de concavidade conforme descrito.

Resposta

Domínio: (-∞,-2) ∪ (-2,1) ∪ (1,∞).
Assíntotas verticais: x = -2 e x = 1.
Assíntota horizontal: y = 0.
Crescente em (-∞,-2) e (-2,-1/2); decrescente em (-1/2,1) e (1,∞).
Máximo local em (-1/2, -4/9).
Concavidade para cima em (-∞,-2) e (1,∞); concavidade para baixo em (-2,1); sem pontos de inflexão.

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