Resolva o problema de otimização:
Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a 125 pi m^3. Determine os valores do raio r e da profundidade h (altura), de modo que a piscina possa ser construida com a menor quantidade de material possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente quer construir uma piscina redonda com volume de e descobrir o raio e a profundidade que vão usar a menor quantidade de material possível. Aqui, estamos trabalhando com princípios de otimização na geometria, usando um pouco de cálculo para achar os valores ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a piscina tem a forma de um cilindro. Então, o volume da piscina é dado pela fórmula:
V = pi r^2 h
Sabemos que 125pi = pi r^2 h , então podemos escrever:
125 = r^2 h
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por S = pi r^2 + 2pi r h :
Agora, queremos minimizar a área superficial da piscina, que é a quantidade de material usado. A área superficial de um cilindro aberto (sem tampa) é:
Aqui, é a área da base e é a área das laterais.

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar h = 125r^2 . Como já temos uma relação entre S = pi r^2 + 2pi r ( 125r^2 ) = pi r^2 + 250pir e dSdr = 2pi r - 250pir^2 ( 2pi r - 250pir^2 = 0 ), podemos resolver essa equação para 2r - 250r^2 = 0 :
2r^3 - 250 = 0
Agora, substituímos 2r^3 = 250 implies r^3 = 125 implies r = 5 , m na fórmula de :
Agora, para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Podemos dividir ambos os lados por :
Multiplicando tudo por para eliminar a fração:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que encontramos h = 1255^2 = 12525 = 5 , m , vamos encontrar usando a relação :

Resposta

O raio ideal da piscina é e a profundidade é para minimizar a quantidade de material utilizado.

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