Resolva o problema de otimização:
Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a
. Determine os valores do raio
e da profundidade
(altura), de modo que a piscina possa ser construida com a menor quantidade de material possível.
Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente quer construir uma piscina redonda com volume de
e descobrir o raio
e a profundidade
que vão usar a menor quantidade de material possível. Aqui, estamos trabalhando com princípios de otimização na geometria, usando um pouco de cálculo para achar os valores ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a piscina tem a forma de um cilindro. Então, o volume da piscina é dado pela fórmula:
Sabemos que
, então podemos escrever:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora, queremos minimizar a área superficial da piscina, que é a quantidade de material usado. A área superficial de um cilindro aberto (sem tampa) é:
Aqui,
é a área da base e
é a área das laterais.
Passo 3
Nosso objetivo é minimizar
. Como já temos uma relação entre
e
(
), podemos resolver essa equação para
:
Agora, substituímos
na fórmula de
:
Agora, para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Multiplicando tudo por
para eliminar a fração:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a relação
:
Resposta
O raio ideal da piscina é
e a profundidade é
para minimizar a quantidade de material utilizado.