Resolva o problema de otimização:
Qual o valor máximo de f(x)=x^3(1-x)^2 se 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar o valor máximo da função no intervalo de . Isso é um problema de otimização, que envolve derivadas para achar máximos e mínimos. Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, para encontrar onde a função atinge seu ponto mais alto.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função f'(x) = ddx(x^3) cdot (1 - x)^2 + x^3 cdot ddx((1 - x)^2) . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Então:
ddx(x^3) = 3x^2
Calculando as derivadas individuais:
ddx((1 - x)^2) = 2(1 - x)(-1) = -2(1 - x)
f'(x) = 3x^2(1 - x)^2 - 2x^3(1 - x)
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a derivada para encontrar os pontos críticos:
f'(x) = x^2(1 - x) [3(1 - x) - 2x] = x^2(1 - x)(3 - 3x - 2x) = x^2(1 - x)(3 - 5x)
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos x^2(1 - x)(3 - 5x) = 0 :
Isso nos dá três soluções:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função f(0) = 0^3(1 - 0)^2 = 0 nesses três pontos e também nos extremos do intervalo, que são f(35) = (35)^3 (1 - 35)^2 = 27125 cdot (25)^2 = 27125 cdot 425 = 1083125 approx 0,03456 e f(1) = 1^3(1 - 1)^2 = 0 :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Comparando os valores encontrados:
O maior valor é aproximadamente quando .

Resposta

O valor máximo de no intervalo é aproximadamente quando .

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