Resolva o problema de otimização:
Qual o valor máximo de
se
.
Qual o valor máximo de
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar o valor máximo da função
no intervalo de
. Isso é um problema de otimização, que envolve derivadas para achar máximos e mínimos. Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, para encontrar onde a função atinge seu ponto mais alto.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Então:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a derivada para encontrar os pontos críticos:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Isso nos dá três soluções:
-
-
→ -
→
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função
nesses três pontos e também nos extremos do intervalo, que são
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Comparando os valores encontrados:
O maior valor é aproximadamente
quando
.
Resposta
O valor máximo de
no intervalo
é aproximadamente
quando
.