Faça o gráfico da função abaixo seguindo o roteiro abaixo:
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que
é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos.
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
, seguindo análise de domínio, assíntotas, monotonicidade, extremos e concavidade. Vamos usar limites para assíntotas e derivadas para monotonicidade e concavidade.
Passo 2
A função é produto de polinômio e exponencial, portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
.
Passo 3
Para assíntotas horizontais, usamos limites:
, logo há assíntota horizontal
. Como
, não há assíntota horizontal nesse lado. Não há assíntotas verticais pois
é contínua em
.
Passo 4
Calculamos a derivada primeira usando produto e cadeia:
Passo 5
Os pontos críticos vêm de
, ou seja
e
. O sinal de
é: decrescente em
, crescente em
e decrescente em
.
Pelo comportamento de , em
há mínimo local
e em
há máximo local
.
Pelo comportamento de
Passo 6
Para concavidade, calculamos a derivada segunda:
Passo 7
As possíveis inflexões vêm de
, cujas raízes são
. Como
, temos concavidade para cima em
e para baixo em
. Nos pontos
ocorrem pontos de inflexão.\n
Resposta
Domínio:
.
Assíntota horizontal: para
. Sem assíntotas verticais.
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
, decrescente em
.
Extremos: mínimo local em , máximo local em
.
Concavidade: côncava para cima em , côncava para baixo em
. Pontos de inflexão em
.
Assíntota horizontal:
Monotonicidade: decrescente em
Extremos: mínimo local em
Concavidade: côncava para cima em