Faça o gráfico da função abaixo seguindo o roteiro abaixo:
a) Especificar o domínio da função.
b) Encontrar as assintotas horizontais e verticais, se existirem.
c) Achar os intervalos em que f(x) é crescente ou decrescente, indicando os pontos críticos.
d) Encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem.
e) Estudar a concavidade, apontando os pontos de inflexão.
h(x)=x^2 cdot e^-x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função h(x)=x^2e^-x, seguindo análise de domínio, assíntotas, monotonicidade, extremos e concavidade. Vamos usar limites para assíntotas e derivadas para monotonicidade e concavidade.

Passo 2

A função é produto de polinômio e exponencial, portanto o domínio é todo o conjunto dos reais: Dom,h=R.

Passo 3

Para assíntotas horizontais, usamos limites: limxto+inftyh(x)=limxto+inftyx^2e^-x=0, logo há assíntota horizontal y=0. Como limxto-inftyh(x)=+infty, não há assíntota horizontal nesse lado. Não há assíntotas verticais pois h é contínua em R.

Passo 4

Calculamos a derivada primeira usando produto e cadeia:
h'(x)=ddx(x^2)e^-x+x^2ddx(e^-x)=(2x-x^2)e^-x = x(2-x)e^-x

Passo 5

Os pontos críticos vêm de h'(x)=0, ou seja x=0 e x=2. O sinal de h' é: decrescente em (0,2), crescente em (2,+infty) e decrescente em h'.
Pelo comportamento de x=0, em h(0)=0 há mínimo local x=2 e em h(2)=4e^-2 há máximo local .

Passo 6

Para concavidade, calculamos a derivada segunda:
h''(x)=e^-x(x^2-4x+2)

Passo 7

As possíveis inflexões vêm de x^2-4x+2=0, cujas raízes são x=2pmraiz2. Como e^-x>0, temos concavidade para cima em (2-raiz2,2+raiz2) e para baixo em x=2pmraiz2. Nos pontos ocorrem pontos de inflexão.\n

Resposta

Domínio: R.
Assíntota horizontal: y=0 para xto+infty. Sem assíntotas verticais.
Monotonicidade: decrescente em (0,2), crescente em (2,+infty), decrescente em (0,0).
Extremos: mínimo local em (2,4e^-2), máximo local em (2-raiz2,2+raiz2).
Concavidade: côncava para cima em x=2pmraiz2, côncava para baixo em . Pontos de inflexão em .

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