Faça o gráfico da função f(x)=llx^2, & -1 <= x<0 -x^2, & 0 <= x <= 1.
f é contínua em x=0? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = ll x^2, & -1 <= x < 0 -x^2, & 0 <= x <= 1
O que a gente precisa fazer aqui é duas coisas:
  1. Fazer o gráfico dessa função.
  2. Verificar se a função é contínua em .
Para isso, vamos precisar entender como desenhar funções definidas por partes e lembrar o conceito de continuidade.

Passo 2

Vamos começar desenhando o gráfico da função. Como a função é definida em duas partes diferentes, vamos desenhar cada parte separadamente.
Primeira parte: Para , a função é . Isso é uma parábola que abre para cima.
Segunda parte: Para , a função é . Essa é uma parábola que abre para baixo.
Vamos plotar os pontos para cada intervalo:
  • Para :
  • Para : na primeira parte
  • Para :
Agora, unimos esses pontos desenhando as parábolas correspondentes em cada intervalo.

Passo 3

Agora que temos o gráfico, vamos verificar a continuidade da função em . Para isso, precisamos entender o que é continuidade.
Continuidade em um ponto: Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de pela esquerda existe.
  3. O limite de quando se aproxima de pela direita existe.
  4. Esses dois limites são iguais e iguais a .
Vamos aplicar isso para .

Passo 4

Vamos calcular os limites à esquerda e à direita de limx to 0^- f(x) = limx to 0^- x^2 = 0 :
Limite pela esquerda ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ -x^2 = 0 ):
Para , . Então:
Limite pela direita ( ):
Para , . Então:
Valor da função em :
A função está definida como .

Passo 5

Agora, vamos verificar se todos os critérios de continuidade são atendidos:
  1. está definida.
  2. O limite pela esquerda é 0.
  3. O limite pela direita é 0.
  4. Ambos os limites são iguais a .
Como todos os pontos estão satisfeitos, concluímos que a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em porque o limite pela esquerda e pela direita em são iguais ao valor da função em , ou seja, ambos são 0.

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