Faça o gráfico da função
.
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O que a gente precisa fazer aqui é duas coisas:
- Fazer o gráfico dessa função.
- Verificar se a função é contínua em
.
Para isso, vamos precisar entender como desenhar funções definidas por partes e lembrar o conceito de continuidade.
Passo 2
Vamos começar desenhando o gráfico da função. Como a função é definida em duas partes diferentes, vamos desenhar cada parte separadamente.
Primeira parte: Para
, a função é
. Isso é uma parábola que abre para cima.
Segunda parte: Para
, a função é
. Essa é uma parábola que abre para baixo.
Vamos plotar os pontos para cada intervalo:
- Para
: - Para
: na primeira parte - Para
:
Agora, unimos esses pontos desenhando as parábolas correspondentes em cada intervalo.
Passo 3
Agora que temos o gráfico, vamos verificar a continuidade da função em
. Para isso, precisamos entender o que é continuidade.
Continuidade em um ponto: Uma função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de pela esquerda existe. - O limite de
quando se aproxima de pela direita existe. - Esses dois limites são iguais e iguais a
.
Vamos aplicar isso para
.
Passo 4
Vamos calcular os limites à esquerda e à direita de
:
Limite pela esquerda (
):
Para
,
. Então:
Limite pela direita (
):
Para
,
. Então:
Valor da função em
:
A função está definida como
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se todos os critérios de continuidade são atendidos:
-
está definida. - O limite pela esquerda é 0.
- O limite pela direita é 0.
- Ambos os limites são iguais a
.
Como todos os pontos estão satisfeitos, concluímos que a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
porque o limite pela esquerda e pela direita em
são iguais ao valor da função em
, ou seja, ambos são 0.