Calcule o fluxo do rotacional do campo ao longo da superfície .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial ao longo de uma superfície parametrizada por , onde varia de 0 a 1 e de 0 a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional, parametrização de superfícies e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral dupla:
Aqui, é o vetor normal à superfície. Para encontrar , precisamos das derivadas parciais da parametrização em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 4
Agora, calculamos o produto vetorial dessas derivadas para obter o vetor normal :
Fazendo o cálculo do determinante, temos:
Resolvend o determinante, obtemos as componentes de .
Passo 5
Vamos encontrar o rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , partial F3partial y = partial (x^2+y^2)partial y = 2y . Para um campo vetorial partial F2partial z = partial ( zx y )partial z = 1x y , o rotacional é dado por:
partial F1partial z = partial (x^2+y^2)partial z = 0
Vamos calcular cada componente:
partial F3partial x = partial (x^2+y^2)partial x = 2x
partial F2partial x = partial ( zx y )partial x = -zx^2 y
partial F1partial y = partial (x^2+y^2)partial y = 2y
nabla times F = ( 2y - 1x y, 0 - 2x, -zx^2 y - 2y )
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos substituir x = u cos(v), y = u sin(v), z = u^2 sin(2v) pela parametrização nabla times F = ( 2u sin(v) - 1u cos(v) cdot u sin(v), -2u cos(v), -u^2 sin(2v)u^2 cos^2(v) cdot u sin(v) - 2u sin(v) ) no rotacional de nabla times F = ( 2u sin(v) - 1u^2 cos(v) sin(v), -2u cos(v), -sin(2v)u cos^2(v) sin(v) - 2u sin(v) ) :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot N = (nabla times F)x cdot Nx + (nabla times F)y cdot Ny + (nabla times F)z cdot Nz . Com as expressões de e em mãos, multiplicamos componente a componente e somamos:
Esse produto escalar será a função que vamos integrar sobre os limites de e .
Passo 8
Finalmente, configuramos a integral dupla para calcular o fluxo:
integral duplasigma (nabla times F) cdot N , dS = integral0^2pi integral0^1 (nabla times F) cdot N , u , du , dv
Note que incluímos o fator devido à mudança para coordenadas polares na parametrização.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o fluxo do rotacional do campo através da superfície é igual a 0.