Calcule o fluxo do rotacional do campo F(x, y, z)=(x^2+y^2, zx y, x^2+y^2) ao longo da superfície sigma(u, v)=(u cos (v), u sen(v), u^2 sen(2 v)), u in[0,1], v in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial ao longo de uma superfície parametrizada por , onde varia de 0 a 1 e de 0 a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional, parametrização de superfícies e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo do rotacional de um campo vetorial integral duplasigma (nabla times F) cdot N , dS através de uma superfície é dado pela integral dupla:
Aqui, é o vetor normal à superfície. Para encontrar , precisamos das derivadas parciais da parametrização em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial sigmapartial u = ( cos(v), sin(v), 2u sin(2v) ) :
partial sigmapartial v = ( -u sin(v), u cos(v), 2u^2 cos(2v) )

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial dessas derivadas para obter o vetor normal N = partial sigmapartial u times partial sigmapartial v :
N = i & j & k cos(v) & sin(v) & 2u sin(2v) - u sin(v) & u cos(v) & 2u^2 cos(2v)
Fazendo o cálculo do determinante, temos:
Resolvend o determinante, obtemos as componentes de .

Passo 5

Vamos encontrar o rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , partial F3partial y = partial (x^2+y^2)partial y = 2y . Para um campo vetorial partial F2partial z = partial ( zx y )partial z = 1x y , o rotacional é dado por:
partial F1partial z = partial (x^2+y^2)partial z = 0
Vamos calcular cada componente:
partial F3partial x = partial (x^2+y^2)partial x = 2x
partial F2partial x = partial ( zx y )partial x = -zx^2 y
partial F1partial y = partial (x^2+y^2)partial y = 2y
nabla times F = ( 2y - 1x y, 0 - 2x, -zx^2 y - 2y )
Portanto,

Passo 6

Agora, vamos substituir x = u cos(v), y = u sin(v), z = u^2 sin(2v) pela parametrização nabla times F = ( 2u sin(v) - 1u cos(v) cdot u sin(v), -2u cos(v), -u^2 sin(2v)u^2 cos^2(v) cdot u sin(v) - 2u sin(v) ) no rotacional de nabla times F = ( 2u sin(v) - 1u^2 cos(v) sin(v), -2u cos(v), -sin(2v)u cos^2(v) sin(v) - 2u sin(v) ) :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot N = (nabla times F)x cdot Nx + (nabla times F)y cdot Ny + (nabla times F)z cdot Nz . Com as expressões de e em mãos, multiplicamos componente a componente e somamos:
Esse produto escalar será a função que vamos integrar sobre os limites de e .

Passo 8

Finalmente, configuramos a integral dupla para calcular o fluxo:
integral duplasigma (nabla times F) cdot N , dS = integral0^2pi integral0^1 (nabla times F) cdot N , u , du , dv
Note que incluímos o fator devido à mudança para coordenadas polares na parametrização.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o fluxo do rotacional do campo através da superfície é igual a 0.

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