Faça o gráfico da função
.
é derivável em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma função definida por partes:
Precisamos fazer o gráfico dessa função e verificar se ela é derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que significa ser derivável e como traçar gráficos de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos traçar o gráfico da função. Observamos que para
entre -1 e 0, a função é
, que é uma parábola aberta para cima. Já para
entre 0 e 1, a função é
, uma parábola aberta para baixo.
Passo 3
Vamos plotar cada parte separadamente:
- Para
, desenhamos a parábola , que passa pelos pontos (-1,1), (-0.5,0.25), e se aproxima de 0 quando se aproxima de 0. - Para
, desenhamos a parábola , que passa por (0,0), (0.5,-0.25), e (-1, -1).
Passo 4
Agora, vamos analisar a derivabilidade da função em
. Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ter uma derivada definida a partir da esquerda e da direita desse ponto, e essas derivadas devem ser iguais.
Passo 5
Calculamos a derivada da função para cada parte:
- Para
, , então . - Para
, , então .
Passo 6
Agora, avaliamos as derivadas no ponto
:
- Derivada pela esquerda:
. - Derivada pela direita:
.
Passo 7
Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais (ambas 0), a função
tem uma derivada definida em
.
Resposta
Sim, a função
é derivável em
, já que as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são iguais.