Faça o gráfico da função f(x)=llx^2, & -1 <= x<0 -x^2, & 0 <= x <= 1.
f é derivável em x=0? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma função definida por partes:
f(x) = x^2, & -1 <= x < 0 -x^2, & 0 <= x <= 1
Precisamos fazer o gráfico dessa função e verificar se ela é derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa ser derivável e como traçar gráficos de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos traçar o gráfico da função. Observamos que para entre -1 e 0, a função é , que é uma parábola aberta para cima. Já para entre 0 e 1, a função é , uma parábola aberta para baixo.

Passo 3

Vamos plotar cada parte separadamente:
  • Para , desenhamos a parábola , que passa pelos pontos (-1,1), (-0.5,0.25), e se aproxima de 0 quando se aproxima de 0.
  • Para , desenhamos a parábola , que passa por (0,0), (0.5,-0.25), e (-1, -1).

Passo 4

Agora, vamos analisar a derivabilidade da função em . Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ter uma derivada definida a partir da esquerda e da direita desse ponto, e essas derivadas devem ser iguais.

Passo 5

Calculamos a derivada da função para cada parte:
  • Para , , então .
  • Para , , então .

Passo 6

Agora, avaliamos as derivadas no ponto :
  • Derivada pela esquerda: .
  • Derivada pela direita: .

Passo 7

Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais (ambas 0), a função tem uma derivada definida em .

Resposta

Sim, a função é derivável em , já que as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são iguais.

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