Seja o sistema definido pela equação: y[n]=x[n]-x[n-1]+x[n-2]. Para qual frequência o ganho deste sistema é zero?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o sistema definido pela equação . O objetivo aqui é descobrir para qual frequência o ganho desse sistema é zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas discretos e analisar o ganho em função da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ganho em um sistema. O ganho de um sistema discreto é a relação entre a saída e a entrada no domínio da frequência. Ele nos diz como o sistema amplifica ou atenua diferentes frequências presentes no sinal de entrada.

Passo 3

Vamos expressar a equação do sistema em termos do ganho. Para isso, aplicamos a transformada de Fourier na equação dada:
Y(e^jomega) = X(e^jomega) - e^-jomegaX(e^jomega) + e^-j2omegaX(e^jomega)
Isso simplifica para:
Y(e^jomega) = (1 - e^-jomega + e^-j2omega)X(e^jomega)
Portanto, o ganho H(e^jomega) = 1 - e^-jomega + e^-j2omega é:

Passo 4

Queremos encontrar a frequência 1 - e^-jomega + e^-j2omega = 0 para a qual o ganho é zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Podemos multiplicar todos os termos por e^j2omega - e^jomega + 1 = 0 para facilitar os cálculos:
e^j2omega - e^jomega + 1 = 0
Rearranjando:
z^2 - z + 1 = 0
Agora, substituímos z = 1 pm raiz1 - 42 = 1 pm jraiz32 , então a equação fica:
e^jomega = 1 pm jraiz32
Resolvendo essa equação quadrática para omega = 2pi3 :
Convertendo de volta para :
Isso corresponde a:

Resposta

A frequência para a qual o ganho do sistema é zero é radianos por amostra.

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