Seja o sistema definido pela equação:
. Para qual frequência o ganho deste sistema é zero?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o sistema definido pela equação
. O objetivo aqui é descobrir para qual frequência o ganho desse sistema é zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas discretos e analisar o ganho em função da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ganho em um sistema. O ganho
de um sistema discreto é a relação entre a saída e a entrada no domínio da frequência. Ele nos diz como o sistema amplifica ou atenua diferentes frequências presentes no sinal de entrada.
Passo 3
Vamos expressar a equação do sistema em termos do ganho. Para isso, aplicamos a transformada de Fourier na equação dada:
Isso simplifica para:
Portanto, o ganho
é:
Passo 4
Queremos encontrar a frequência
para a qual o ganho
é zero. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Podemos multiplicar todos os termos por
para facilitar os cálculos:
Rearranjando:
Agora, substituímos
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Convertendo de volta para
:
Isso corresponde a:
Resposta
A frequência para a qual o ganho do sistema é zero é
radianos por amostra.