Faça o gráfico da função f(x)=\operatorname{sen}(-2 x), no intervalo [-2 \pi, 3 \pi].

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\operatorname{sen}(-2x)
no intervalo [-2\pi,\,3\pi].
Conteúdo: curvas de funções trigonométricas. Vamos usar que \operatorname{sen}(-2x)=-\operatorname{sen}(2x), determinar amplitude, período e pontos notáveis (zeros, máximos e mínimos) para depois ligar esses pontos num traço suave.

Passo 2

Amplitude e período
  1. Amplitude: como é seno, a amplitude é 1.
  2. Período de \operatorname{sen}(2x) é T=\frac{2\pi}{2}=\pi. Como \operatorname{sen}(-2x) só inverte verticalmente, o período também é \pi.
    Portanto, em cada intervalo de comprimento \pi a curva repete-se. Em [-2\pi,3\pi] temos comprimento 5\pi, isto é, exatamente 5 ciclos completos.

Passo 3

Encontrando os zeros
Resolvemos
\operatorname{sen}(-2x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -2x=k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad x=-\frac{k\pi}{2},
para todo k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [-2\pi,3\pi] isso dá os valores
x=k\frac{\pi}{2},\quad k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.

Passo 4

Máximos e mínimos
Como \operatorname{sen}(-2x)=-\operatorname{sen}(2x), os pontos de máximo de \operatorname{sen}(2x) são mínimos de f e vice-versa. Para \operatorname{sen}(2x):
– Zeros em 2x=k\pi.
– Máximos ( +1) em 2x=\tfrac{\pi}{2}+2m\pi.
– Mínimos ( -1) em 2x=\tfrac{3\pi}{2}+2m\pi.
Para f(x):
– Máximos f(x)=+1 quando \operatorname{sen}(2x)=-1, ou seja, 2x=\tfrac{3\pi}{2}+2m\pi, logo
x=\frac{3\pi}{4}+m\pi.
– Mínimos f(x)=-1 quando \operatorname{sen}(2x)=+1, ou seja, 2x=\tfrac{\pi}{2}+2m\pi, logo
x=\frac{\pi}{4}+m\pi.
Listando no intervalo:
Zeros em
\,-2\pi,\,-\tfrac{3\pi}{2},\,-\pi,\,-\tfrac{\pi}{2},\,0,\,\tfrac{\pi}{2},\,\pi,\,\tfrac{3\pi}{2},\,2\pi,\,\tfrac{5\pi}{2},\,3\pi.
Máximos +1 em
\,-\tfrac{5\pi}{4},\,-\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{3\pi}{4},\,\tfrac{7\pi}{4},\,\tfrac{11\pi}{4}.
Mínimos -1 em
\,-\tfrac{7\pi}{4},\,-\tfrac{3\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{5\pi}{4},\,\tfrac{9\pi}{4}.

Passo 5

Esboço do gráfico
  1. Desenhe eixos cartesianos com x de -2\pi a 3\pi e y de -1 a 1.
  2. Marque no eixo x todos os pontos listados no passo anterior.
  3. Em cada zero coloque o ponto (x,0).
  4. Nos pontos de máximo coloque (x,1) e nos de mínimo (x,-1).
  5. Ligue esses pontos com uma curva suave de senóide invertida (pois o sinal negativo “inverte” a forma usual de \operatorname{sen}(2x)).
  6. Serão 5 oscilações completas, começando em (-2\pi,0), descendo até (-3\pi/2,-1), subindo até (- \pi,0), até (- \pi/2,1), voltando a 0, e assim por diante até (3\pi,0).

Resposta

O gráfico de f(x)=\operatorname{sen}(-2x) em [-2\pi,3\pi] é uma senóide de amplitude 1, período \pi e invertida verticalmente, com cinco ciclos completos, passando pelos pontos:
– zeros em x=k\pi/2 para k=-4,\dots,6;
– máximos f(x)=+1 em x=\tfrac{3\pi}{4}+m\pi;
– mínimos f(x)=-1 em x=\tfrac{\pi}{4}+m\pi.
O esboço liga esses pontos de maneira suave, completando 5 ondas no intervalo.

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