Se \operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\frac{5}{3}, onde x e y estão entre 0 e \frac{\pi}{2}, calcule \operatorname{sen}(x+y).

Passo 1

O enunciado dá \sin x = \tfrac{1}{3} e \operatorname{sec} y = \tfrac{5}{3}, com x e y no primeiro quadrante, e pede \sin(x+y). Para isso, vamos usar a fórmula de soma de senos:
\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y.
Precisamos encontrar \cos x e \sin y.

Passo 2

Como \sin x = \tfrac{1}{3} e x\in(0,\tfrac{\pi}{2}), temos
\cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{1 - \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt2}{3}.

Passo 3

De \operatorname{sec} y = \tfrac{5}{3} segue \cos y = \tfrac{3}{5}. Como y também está no primeiro quadrante,
\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y} = \sqrt{1 - \bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} = \tfrac{4}{5}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de soma de senos:
\sin(x+y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac{4}{5}.

Passo 5

Fazendo a soma e reduzindo ao mesmo denominador,
\sin(x+y) = \frac{1}{5} + \frac{8\sqrt2}{15} = \frac{3+8\sqrt2}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{3+8\sqrt2}{15}

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