Resolva o sistema de equações lineares (obter o valor de x, y e z ) usando matrizes. se o sistema não tiver solução, diga que ele é inconsistente.
\left\{\begin{array}{l} x-y=6 \\\\ 2 x-3 z=16 \\\\ 2 y+z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de três equações lineares em três incógnitas usando matrizes, ou seja, encontrar (x,y,z) tal que:
\begin{cases} x - y = 6,\\\\ 2x - 3z = 16,\\\\ 2y + z = 4. \end{cases}
O método que vamos aplicar é a eliminação de Gauss na matriz ampliada do sistema.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada [A\mid b] associada ao sistema, em que as colunas de A correspondem aos coeficientes de x,y,z e a última coluna é o vetor dos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 6\\\\ 2 & 0 & -3 & 16\\\\ 0 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1 para eliminar a incógnita x da segunda linha:
R_2: \;(2,\,0,\,-3 \mid 16)\;-\;2\cdot(1,\,-1,\,0 \mid 6) =(0,\,2,\,-3 \mid 4).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 6\\\\ 0 & 2 & -3 & 4\\\\ 0 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right].

Passo 4

Agora eliminamos y da terceira linha com R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
R_3: \;(0,\,2,\,1 \mid 4)\;-\;(0,\,2,\,-3 \mid 4) =(0,\,0,\,4 \mid 0).
Isso dá a equação 4z = 0, de onde
z = 0.

Passo 5

Substituímos z=0 na segunda linha 0\cdot x + 2y -3z = 4, ou seja,
2y -3\cdot 0 = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Finalmente, substituímos y=2, z=0 na primeira equação x - y = 6:
x - 2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 8.

Resposta

x = 8,\quad y = 2,\quad z = 0

Exercícios relacionados