Faça o gráfico da função racional
detalhando:
(a) os valores onde ela não está definida
(b) Os seus zeros
(c) a intersecção com o eixo vertical
(d) as tendências quando
é muito grande positivo e negativo
(e) as tendências quando
tende a seus pontos singulares
(a) os valores onde ela não está definida
(b) Os seus zeros
(c) a intersecção com o eixo vertical
(d) as tendências quando
(e) as tendências quando
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede que detalhemos:
(a) os valores onde ela não está definida;
(b) os seus zeros;
(c) a intersecção com o eixo vertical;
(d) as tendências quando é muito grande positivo e muito grande negativo;
(e) as tendências quando tende aos seus pontos singulares.
(a) os valores onde ela não está definida;
(b) os seus zeros;
(c) a intersecção com o eixo vertical;
(d) as tendências quando
(e) as tendências quando
Informações dadas que vamos usar: a expressão algébrica de
e que se trata de uma função racional (fração de polinômios).
Passo 2
Domain (onde a função está definida) — regra e aplicação.
Regra: uma função racional está definida para todos os
tais que
. Aqui
. Logo o ponto proibido é
.
Portanto o domínio é .
Regra: uma função racional
Portanto o domínio é
Passo 3
Simplificação da expressão para entender o comportamento global.
Dividindo termo a termo o numerador por :
Dividindo termo a termo o numerador por
Essa forma
é muito útil: mostra uma parte linear
mais um termo racional
que tende a zero quando
cresce.
Passo 4
Encontrar os zeros (interseções com o eixo
-axis).
Zeros são as soluções de , ou equivalentemente zeros do numerador (desde que não anulem o denominador). Então resolvemos:
Zeros são as soluções de
Fatorando:
logo as soluções são
e
. Como
e
não anulam o denominador
, são zeros reais válidos.
Pontos correspondentes: e
.
Pontos correspondentes:
Passo 5
Interseção com o eixo vertical (eixo
, que é
).
Interseção com o eixo vertical existe se for definido; ou seja, se
estiver no domínio. Mas do Passo 2 vimos que
não pertence ao domínio. Portanto a função NÃO tem interseção com o eixo vertical (não existe
). Em palavras: não há ponto
no gráfico.
Interseção com o eixo vertical existe se
Passo 6
Comportamento próximo ao ponto singular
— limites laterais e assimptota vertical.
Usando a forma , quando
tende a
o termo
domina. Então:
Usando a forma
Como um dos limites laterais é
e o outro é
, a reta
é uma assimptota vertical e a função diverge para sinais opostos à medida que se aproxima por cada lado.
Passo 7
Comportamento para grandes valores de
— assimptota oblíqua (ou inclinada).
A forma mostra claramente que, quando
, o termo
. Logo
A forma
Isso significa que a reta
é uma assimptota oblíqua do gráfico. Consequências práticas:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 8
Verificação: a função cruza a sua assimptota oblíqua em algum ponto?
Procuramos solução de . Substituindo:
Procuramos solução de
que não tem solução finita. Portanto o gráfico nunca coincide exatamente com a reta
em um ponto finito (apenas se aproxima quando
cresce).
Passo 9
Alguns valores pontos úteis para desenhar o esboço (controle rápido de sinais e forma):
Calcular ,
,
,
, e um pequeno valor para ver a explosão.
Calcular
Esses pontos confirmam: duas raízes em
e
, crescimento para
à direita, decrescimento para
à esquerda, e explosão com sinais opostos perto de
.
Passo 10
Como montar o esboço final do gráfico (passo a passo prático para prova):
- Trace a assimptota vertical
. - Trace a assimptota oblíqua
. - Marque os zeros em
e . - Marque alguns pontos como
e para orientar a curva. - No ramo
: a curva vem de quando , cruza o eixo em e , e aproxima-se da reta quando . - No ramo
: a curva vem de quando e aproxima-se da reta quando .
Pronto — com isso tem todas as informações para desenhar o gráfico corretamente.
Resposta
(a)
(domínio
).
(b) Zeros em e
(pontos
e
).
(c) Não há intersecção com o eixo vertical (a função não está definida em ).
(d) Quando ,
; quando
,
. A assimptota oblíqua é
.
(e) Próximo ao ponto singular :
e
; a reta
é uma assimptota vertical.
(b) Zeros em
(c) Não há intersecção com o eixo vertical (a função não está definida em
(d) Quando
(e) Próximo ao ponto singular