Faça o gráfico da função racional h(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{x} detalhando:
(a) os valores onde ela não está definida
(b) Os seus zeros
(c) a intersecção com o eixo vertical
(d) as tendências quando x é muito grande positivo e negativo
(e) as tendências quando x tende a seus pontos singulares

Passo 1

O enunciado dá a função racional h(x)=\dfrac{x^{2}-3x+2}{x} e pede que detalhemos:
(a) os valores onde ela não está definida;
(b) os seus zeros;
(c) a intersecção com o eixo vertical;
(d) as tendências quando x é muito grande positivo e muito grande negativo;
(e) as tendências quando x tende aos seus pontos singulares.
Informações dadas que vamos usar: a expressão algébrica de h(x) e que se trata de uma função racional (fração de polinômios).

Passo 2

Domain (onde a função está definida) — regra e aplicação.
Regra: uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} está definida para todos os x tais que Q(x)\neq0. Aqui Q(x)=x. Logo o ponto proibido é x=0.
Portanto o domínio é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.

Passo 3

Simplificação da expressão para entender o comportamento global.
Dividindo termo a termo o numerador por x:
\frac{x^{2}-3x+2}{x}=\frac{x^{2}}{x}-\frac{3x}{x}+\frac{2}{x}=x-3+\frac{2}{x}.
Essa forma \,h(x)=x-3+\dfrac{2}{x}\, é muito útil: mostra uma parte linear x-3 mais um termo racional \dfrac{2}{x} que tende a zero quando |x| cresce.

Passo 4

Encontrar os zeros (interseções com o eixo \,x-axis).
Zeros são as soluções de h(x)=0, ou equivalentemente zeros do numerador (desde que não anulem o denominador). Então resolvemos:
x^{2}-3x+2=0.
Fatorando:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2),
logo as soluções são x=1 e x=2. Como 1 e 2 não anulam o denominador x, são zeros reais válidos.
Pontos correspondentes: (1,0) e (2,0).

Passo 5

Interseção com o eixo vertical (eixo y, que é x=0).
Interseção com o eixo vertical existe se h(0) for definido; ou seja, se 0 estiver no domínio. Mas do Passo 2 vimos que x=0 não pertence ao domínio. Portanto a função NÃO tem interseção com o eixo vertical (não existe h(0)). Em palavras: não há ponto (0,y) no gráfico.

Passo 6

Comportamento próximo ao ponto singular x=0 — limites laterais e assimptota vertical.
Usando a forma h(x)=x-3+\dfrac{2}{x}, quando x tende a 0 o termo \dfrac{2}{x} domina. Então:
\lim_{x\to0^{+}}h(x)=\lim_{x\to0^{+}}\left(x-3+\frac{2}{x}\right)=+\infty,
\lim_{x\to0^{-}}h(x)=\lim_{x\to0^{-}}\left(x-3+\frac{2}{x}\right)=-\infty.
Como um dos limites laterais é +\infty e o outro é -\infty, a reta x=0 é uma assimptota vertical e a função diverge para sinais opostos à medida que se aproxima por cada lado.

Passo 7

Comportamento para grandes valores de |x| — assimptota oblíqua (ou inclinada).
A forma h(x)=x-3+\dfrac{2}{x} mostra claramente que, quando |x|\to\infty, o termo \dfrac{2}{x}\to0. Logo
\lim_{x\to\infty}\bigl(h(x)-(x-3)\bigr)=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0,
\lim_{x\to-\infty}\bigl(h(x)-(x-3)\bigr)=\lim_{x\to-\infty}\frac{2}{x}=0.
Isso significa que a reta y=x-3 é uma assimptota oblíqua do gráfico. Consequências práticas:
  • Quando x\to+\infty, h(x)\sim x-3\to+\infty.
  • Quando x\to-\infty, h(x)\sim x-3\to-\infty.

Passo 8

Verificação: a função cruza a sua assimptota oblíqua em algum ponto?
Procuramos solução de h(x)=x-3. Substituindo:
x-3+\frac{2}{x}=x-3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{x}=0,
que não tem solução finita. Portanto o gráfico nunca coincide exatamente com a reta y=x-3 em um ponto finito (apenas se aproxima quando |x| cresce).

Passo 9

Alguns valores pontos úteis para desenhar o esboço (controle rápido de sinais e forma):
Calcular h(1), h(2), h(3), h(-1), e um pequeno valor para ver a explosão.
h(1)=0,\qquad h(2)=0,
h(3)=\frac{9-9+2}{3}=\frac{2}{3},
h(-1)=\frac{1+3+2}{-1}=-6,
h(0{,}1)=0{,}1-3+\frac{2}{0{,}1}= -2{,}9+20=17{,}1\\ (\text{grande e positivo}),
h(-0{,}1)= -0{,}1-3+\frac{2}{-0{,}1}= -3{,}1-20=-23{,}1\\ (\text{grande e negativo}).
Esses pontos confirmam: duas raízes em 1 e 2, crescimento para +\infty à direita, decrescimento para -\infty à esquerda, e explosão com sinais opostos perto de 0.

Passo 10

Como montar o esboço final do gráfico (passo a passo prático para prova):
  1. Trace a assimptota vertical x=0.
  2. Trace a assimptota oblíqua y=x-3.
  3. Marque os zeros em (1,0) e (2,0).
  4. Marque alguns pontos como (3,\tfrac{2}{3}) e (-1,-6) para orientar a curva.
  5. No ramo x>0: a curva vem de +\infty quando x\to0^{+}, cruza o eixo x em x=1 e x=2, e aproxima-se da reta y=x-3 quando x\to+\infty.
  6. No ramo x<0: a curva vem de -\infty quando x\to0^{-} e aproxima-se da reta y=x-3 quando x\to-\infty.
    Pronto — com isso tem todas as informações para desenhar o gráfico corretamente.

Resposta

(a) x=0 (domínio \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}).
(b) Zeros em x=1 e x=2 (pontos (1,0) e (2,0)).
(c) Não há intersecção com o eixo vertical (a função não está definida em x=0).
(d) Quando x\to+\infty, h(x)\sim x-3\to+\infty; quando x\to-\infty, h(x)\sim x-3\to-\infty. A assimptota oblíqua é y=x-3.
(e) Próximo ao ponto singular x=0: \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}h(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to0^{-}}h(x)=-\infty; a reta x=0 é uma assimptota vertical.

Exercícios relacionados