Esboce o gráfico das seguintes funções racionais:
f_{1}(x)=\frac{x-1}{x-2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: esboçar o gráfico da função racional \,f_{1}(x)=\dfrac{x-1}{x-2}.
  • Informação imediata dada pela fórmula: é uma função racional (quociente de polinômios) com possível assíntota vertical onde o denominador zera e comportamento assintótico para |x| grande.
    Vou identificar domínio, assíntotas, interceptos, sinais, monotonicidade e concavidade — tudo passo a passo — para então desenhar o esboço.

Passo 2

Domínio e pontos proibidos:
  • O denominador é \,x-2. Ele zera em \,x=2. Logo o domínio é \,\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq2\}.
  • Em x=2 a função não está definida; aí normalmente teremos uma assíntota vertical.

Passo 3

Colocar a função numa forma que explique o deslocamento (é a “hipérbole padrão” deslocada):
  • Faça a divisão algébrica ou observe que
x-1=(x-2)+1,
logo
\frac{x-1}{x-2}=1+\frac{1}{x-2}.
  • Essa forma \,f(x)=1+\dfrac{1}{x-2} mostra que é a hipérbole \,y=\dfrac{1}{x} deslocada 2 unidades para a direita (trocar x por x-2) e depois 1 unidade para cima (somar 1).

Passo 4

Assíntotas horizontais/obliquas e verticais:
  • Assíntota vertical: onde o denominador zera, isto é \,x=2.
  • Assíntota horizontal: para |x|\to\infty, o termo \dfrac{1}{x-2}\to0, logo \,f(x)\to1. A assíntota horizontal é \,y=1.
  • Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador e do denominador é igual; já tratámos com a decomposição acima que dá a assíntota horizontal.

Passo 5

Interceptos com os eixos (pontos que vale a pena marcar):
  • Intercepto com o eixo x: resolver \dfrac{x-1}{x-2}=0. O numerador precisa ser zero, então \,x=1. Ponto: (1,0).
  • Intercepto com o eixo y: calcular \,f(0)=\dfrac{0-1}{0-2}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}. Ponto: \,(0,\tfrac{1}{2}).

Passo 6

Sinal da função em cada intervalo do domínio (útil para saber em que lados do eixo x o gráfico fica):
  • Zeros e polos dividem a reta em intervalos: (-\infty,1), (1,2) e (2,\infty).
  • Escolhendo testes rápidos:
    • Para x<1 (ex.: x=0): \dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{-1}{-2}>0. Portanto \,f>0 em (-\infty,1).
    • Para 1<x<2 (ex.: x=1{,}5): numerador positivo, denominador negativo \Rightarrow f<0. Portanto \,f<0 em (1,2).
    • Para x>2 (ex.: x=3): numerador e denominador positivos \Rightarrow f>0. Portanto \,f>0 em (2,\infty).

Passo 7

Derivada: monotonicidade e existência de extremos locais (importante para o formato do esboço):
  • Use a regra do quociente ou derive a forma \,1+\dfrac{1}{x-2}. Derivando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=\frac{d}{dx}\!\left((x-2)^{-1}\right) = -1\cdot (x-2)^{-2} = -\frac{1}{(x-2)^2}.
  • Observação sobre f'(x): para todo x\neq2 tem-se (x-2)^2>0, então f'(x)<0. Conclusão: a função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio (-\infty,2) e (2,\infty).
  • Como f'(x) nunca é zero e não muda sinal (apenas é indefinido em x=2), não existem máximos ou mínimos locais finitos.

Passo 8

Concavidade (segunda derivada) para afinar o formato das curvas:
  • Derivando f'(x)=- (x-2)^{-2}:
f''(x)=2\,(x-2)^{-3}=\frac{2}{(x-2)^3}.
  • Sinal de f'':
    • Para x<2: (x-2)^3<0 então f''(x)<0 → concavidade para baixo em (-\infty,2).
    • Para x>2: (x-2)^3>0 então f''(x)>0 → concavidade para cima em (2,\infty).

Passo 9

Comportamento próximo das assíntotas (para desenhar corretamente as “pontas”):
  • Próximo de x=2:
    • Ao aproximar por valores menores ( x\to2^{-}), \dfrac{1}{x-2}\to -\infty, então \,f(x)\to -\infty. A rama da esquerda “cai” para -\infty.
    • Ao aproximar por valores maiores ( x\to2^{+}), \dfrac{1}{x-2}\to +\infty, então \,f(x)\to +\infty. A rama da direita “sobe” para +\infty.
  • Para |x| grandes, \,f(x)\approx1+ pequeno; à direita aproxima-se de \,y=1 vindo de cima, à esquerda aproxima-se de \,y=1 vindo de baixo (porque quando x\gg2 o termo 1/(x-2)>0, e quando x\ll2 é negativo pequeno).

Passo 10

Resumo dos pontos essenciais a marcar no esboço e instruções de desenho (faça à mão seguindo estes passos):
  • Trace as assíntotas: vertical \,x=2 (linha tracejada) e horizontal \,y=1 (linha tracejada). Marque a interseção das assíntotas em \,(2,1) — é o “centro” da hipérbole deslocada.
  • Marque os pontos: \,(1,0) (intercepto em x) e \,(0,\tfrac{1}{2}) (intercepto em y).
  • Para x<2: desenhe a rama à esquerda passando por (0,\tfrac{1}{2}) e (1,0), sendo decrescente e concava para baixo, aproximando-se de \,y=1 por baixo quando x\to-\infty e indo para -\infty quando x\to2^{-}.
  • Para x>2: desenhe a rama à direita que sai de +\infty ao passar por x=2^{+}, é decrescente e côncava para cima, aproxima-se de \,y=1 por cima quando x\to+\infty.
  • Ao desenhar, lembre-se que não existe ponto em x=2 (buraco/polo) e que a curva nunca cruza a assíntota horizontal em pontos finitos (apenas se aproxima).

Resposta

\displaystyle f_{1}(x)=1+\frac{1}{x-2} \
Assíntotas: \,x=2 (vertical) e \,y=1 (horizontal). \
Interceptos: (1,0) e \,(0,\tfrac{1}{2}). \
Domínio: \,x\neq2. \
Sinal: f>0 em (-\infty,1) e em (2,\infty); f<0 em (1,2). \
Monotonicidade: estritamente decrescente em (-\infty,2) e em (2,\infty). \
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,2) e côncava para cima em (2,\infty).

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