Esboce o gráfico das seguintes funções racionais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: esboçar o gráfico da função racional
. - Informação imediata dada pela fórmula: é uma função racional (quociente de polinômios) com possível assíntota vertical onde o denominador zera e comportamento assintótico para
grande.
Vou identificar domínio, assíntotas, interceptos, sinais, monotonicidade e concavidade — tudo passo a passo — para então desenhar o esboço.
Passo 2
Domínio e pontos proibidos:
- O denominador é
. Ele zera em . Logo o domínio é . - Em
a função não está definida; aí normalmente teremos uma assíntota vertical.
Passo 3
Colocar a função numa forma que explique o deslocamento (é a “hipérbole padrão” deslocada):
- Faça a divisão algébrica ou observe que
logo
- Essa forma
mostra que é a hipérbole deslocada unidades para a direita (trocar por ) e depois unidade para cima (somar ).
Passo 4
Assíntotas horizontais/obliquas e verticais:
- Assíntota vertical: onde o denominador zera, isto é
. - Assíntota horizontal: para
, o termo , logo . A assíntota horizontal é . - Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador e do denominador é igual; já tratámos com a decomposição acima que dá a assíntota horizontal.
Passo 5
Interceptos com os eixos (pontos que vale a pena marcar):
- Intercepto com o eixo
: resolver . O numerador precisa ser zero, então . Ponto: . - Intercepto com o eixo
: calcular . Ponto: .
Passo 6
Sinal da função em cada intervalo do domínio (útil para saber em que lados do eixo
o gráfico fica):
- Zeros e polos dividem a reta em intervalos:
, e . - Escolhendo testes rápidos:
- Para
(ex.: ): . Portanto em . - Para
(ex.: ): numerador positivo, denominador negativo . Portanto em . - Para
(ex.: ): numerador e denominador positivos . Portanto em .
- Para
Passo 7
Derivada: monotonicidade e existência de extremos locais (importante para o formato do esboço):
- Use a regra do quociente ou derive a forma
. Derivando:
- Observação sobre
: para todo tem-se , então . Conclusão: a função é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio e . - Como
nunca é zero e não muda sinal (apenas é indefinido em ), não existem máximos ou mínimos locais finitos.
Passo 8
Concavidade (segunda derivada) para afinar o formato das curvas:
- Derivando
:
- Sinal de
: - Para
: então → concavidade para baixo em . - Para
: então → concavidade para cima em .
- Para
Passo 9
Comportamento próximo das assíntotas (para desenhar corretamente as “pontas”):
- Próximo de
: - Ao aproximar por valores menores (
), , então . A rama da esquerda “cai” para . - Ao aproximar por valores maiores (
), , então . A rama da direita “sobe” para .
- Ao aproximar por valores menores (
- Para
grandes, pequeno; à direita aproxima-se de vindo de cima, à esquerda aproxima-se de vindo de baixo (porque quando o termo , e quando é negativo pequeno).
Passo 10
Resumo dos pontos essenciais a marcar no esboço e instruções de desenho (faça à mão seguindo estes passos):
- Trace as assíntotas: vertical
(linha tracejada) e horizontal (linha tracejada). Marque a interseção das assíntotas em — é o “centro” da hipérbole deslocada. - Marque os pontos:
(intercepto em ) e (intercepto em ). - Para
: desenhe a rama à esquerda passando por e , sendo decrescente e concava para baixo, aproximando-se de por baixo quando e indo para quando . - Para
: desenhe a rama à direita que sai de ao passar por , é decrescente e côncava para cima, aproxima-se de por cima quando . - Ao desenhar, lembre-se que não existe ponto em
(buraco/polo) e que a curva nunca cruza a assíntota horizontal em pontos finitos (apenas se aproxima).
Resposta
Assíntotas:
Interceptos:
Domínio:
Sinal:
Monotonicidade: estritamente decrescente em
Concavidade: côncava para baixo em