Esboce o gráfico das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
Informações fornecidas (apenas o que o enunciado dá):
- A expressão algébrica da função é
. - Não há figura ou restrição extra no enunciado.
Passo 2
Encontrar o domínio (ou seja, onde a função está definida).
- A função é uma fração; o denominador não pode ser zero.
- Resolver
dá . - Portanto o domínio é todos os reais, exceto
:
Passo 3
Identificar assíntotas verticais e horizontais/oblíquas por comparação de graus e limites.
- Tanto numerador quanto denominador têm grau
. Quando degrees são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes: coeficiente de no numerador é e no denominador é . Logo a assíntota horizontal é
- Assíntota vertical ocorre onde o denominador zera (e numerador não zera no mesmo ponto): já vimos
. Como o numerador em é , existe realmente uma assíntota vertical em
Passo 4
Reescrever a função como soma de um polinômio e uma parte racional (isso ajuda a entender deslocamentos).
- Fazer a divisão algébrica ou observar:
- Interpretação:
é a função . Isso mostra que é uma hipérbole do tipo multiplicada por , deslocada unidades para a direita (devido a ) e unidade para cima (devido ao ).
Passo 5
Calcular interceptos com os eixos (pontos que ajudam no esboço).
- Intercepto em
(zerar a função): resolver dá
Então o ponto é
.
- Intercepto em
(colocar ):
Então o ponto é
.
Passo 6
Comportamento próximo às assíntotas e nos infinitos (limites unilaterais).
- Limites quando
. Usando a forma : - Para
temos , então e
- Para
temos , então e
- Para
- Limites no infinito (assintótico à
): -
(aproxima-se de por cima, porque para ). -
(aproxima-se de por baixo, porque para ).
-
Passo 7
Estudar monotonicidade (para saber como a curva cresce/decresce).
- Calcular a derivada usando a forma original ou a forma
. Usando a última:
- Derivando:
- Observação didática:
para todo , então em ambos os intervalos do domínio. Conclusão: -
é estritamente decrescente em e também estritamente decrescente em .
-
Passo 8
Estudar concavidade (para saber a “curvatura” dos ramos).
- Segunda derivada:
- Sinal:
- Para
, então : concavidade voltada para cima (côncava para cima). - Para
, então : concavidade voltada para baixo (côncava para baixo).
- Para
- Não há ponto de inflexão no domínio (a mudança de concavidade ocorre no assíntota vertical
, que não pertence ao domínio).
Passo 9
Resumo das informações essenciais para esboçar o gráfico (pontos e linhas-guia) e instrução prática de desenho.
- Pontos importantes:
- Intercepto em
: . - Intercepto em
: .
- Intercepto em
- Assíntotas:
- Vertical:
. - Horizontal:
.
- Vertical:
- Comportamento:
- Como
, . - Como
, . - Como
, . - Como
, .
- Como
- Monotonicidade e curvatura:
- A função é decrescente em
e em . - É côncava para baixo em
e côncava para cima em .
- A função é decrescente em
- Como esboçar passo a passo:
- Desenhar as retas tracejadas das assíntotas
(vertical) e (horizontal). - Marcar os pontos
e . - No intervalo
: desenhar um ramo que passa por e , fica abaixo da assíntota horizontal , é decrescente e côncavo para baixo e tende a quando e a quando . - No intervalo
: desenhar um ramo que fica acima da assíntota horizontal , decrescente e côncavo para cima, tende a quando e aproxima-se de quando . - Verificar que não há pontos adicionais de máximo/minimo (derivada não zera em domínio), então os ramos não os apresentam.
- Desenhar as retas tracejadas das assíntotas
Resposta
Domínio:
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Interceptos: -intercepto
;
-intercepto
Comportamento nas assíntotas e infinitos: ,
,
,
Monotonicidade: em
e
(sempre decrescente em cada ramo)
Concavidade: côncava para baixo em e côncava para cima em
(pois
)
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Interceptos:
Comportamento nas assíntotas e infinitos:
Monotonicidade:
Concavidade: côncava para baixo em