Esboce o gráfico das seguintes funções racionais:
f_{2}(x)=\frac{x+3}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
f_{2}(x)=\frac{x+3}{x-3}.
Informações fornecidas (apenas o que o enunciado dá):
  • A expressão algébrica da função é \dfrac{x+3}{x-3}.
  • Não há figura ou restrição extra no enunciado.

Passo 2

Encontrar o domínio (ou seja, onde a função está definida).
  • A função é uma fração; o denominador não pode ser zero.
  • Resolver x-3=0 x=3.
  • Portanto o domínio é todos os reais, exceto x=3:
\text{Domínio} = \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 3\}.í

Passo 3

Identificar assíntotas verticais e horizontais/oblíquas por comparação de graus e limites.
  • Tanto numerador quanto denominador têm grau 1. Quando degrees são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes: coeficiente de x no numerador é 1 e no denominador é 1. Logo a assíntota horizontal é
y=1.
  • Assíntota vertical ocorre onde o denominador zera (e numerador não zera no mesmo ponto): já vimos x=3. Como o numerador em x=3 é 3+3=6\neq0, existe realmente uma assíntota vertical em
x=3.

Passo 4

Reescrever a função como soma de um polinômio e uma parte racional (isso ajuda a entender deslocamentos).
  • Fazer a divisão algébrica ou observar:
\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x-3)+6}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}.
  • Interpretação: f_{2}(x) é a função 1+\dfrac{6}{x-3}. Isso mostra que é uma hipérbole do tipo 1/x multiplicada por 6, deslocada 3 unidades para a direita (devido a x-3) e 1 unidade para cima (devido ao +1).

Passo 5

Calcular interceptos com os eixos (pontos que ajudam no esboço).
  • Intercepto em x (zerar a função): resolver x+3=0
x=-3.
Então o ponto é (-3,0).
  • Intercepto em y (colocar x=0):
f_{2}(0)=\frac{0+3}{0-3}=\frac{3}{-3}=-1.
Então o ponto é (0,-1).

Passo 6

Comportamento próximo às assíntotas e nos infinitos (limites unilaterais).
  • Limites quando x\to 3^\pm. Usando a forma 1+\dfrac{6}{x-3}:
    • Para x\to 3^+ temos x-3\to 0^+, então \dfrac{6}{x-3}\to +\infty e
    \lim_{x\to 3^{+}} f_{2}(x)=+\infty.
    • Para x\to 3^- temos x-3\to 0^-, então \dfrac{6}{x-3}\to -\infty e
    \lim_{x\to 3^{-}} f_{2}(x)=-\infty.
  • Limites no infinito (assintótico à y=1):
    • \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f_{2}(x)=1^{+} (aproxima-se de 1 por cima, porque \dfrac{6}{x-3}>0 para x>3).
    • \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f_{2}(x)=1^{-} (aproxima-se de 1 por baixo, porque \dfrac{6}{x-3}<0 para x<3).

Passo 7

Estudar monotonicidade (para saber como a curva cresce/decresce).
  • Calcular a derivada usando a forma original ou a forma 1+6/(x-3). Usando a última:
f_{2}(x)=1+6(x-3)^{-1}.
  • Derivando:
f_{2}'(x)=-6(x-3)^{-2}=\frac{-6}{(x-3)^{2}}.
  • Observação didática: (x-3)^{2}>0 para todo x\neq3, então f_{2}'(x)<0 em ambos os intervalos do domínio. Conclusão:
    • f_{2} é estritamente decrescente em (-\infty,3) e também estritamente decrescente em (3,+\infty).

Passo 8

Estudar concavidade (para saber a “curvatura” dos ramos).
  • Segunda derivada:
f_{2}''(x)=\frac{d}{dx}\left(-6(x-3)^{-2}\right)=12(x-3)^{-3}=\frac{12}{(x-3)^{3}}.
  • Sinal:
    • Para x>3, (x-3)^{3}>0 então f_{2}''(x)>0: concavidade voltada para cima (côncava para cima).
    • Para x<3, (x-3)^{3}<0 então f_{2}''(x)<0: concavidade voltada para baixo (côncava para baixo).
  • Não há ponto de inflexão no domínio (a mudança de concavidade ocorre no assíntota vertical x=3, que não pertence ao domínio).

Passo 9

Resumo das informações essenciais para esboçar o gráfico (pontos e linhas-guia) e instrução prática de desenho.
  • Pontos importantes:
    • Intercepto em x: (-3,0).
    • Intercepto em y: (0,-1).
  • Assíntotas:
    • Vertical: x=3.
    • Horizontal: y=1.
  • Comportamento:
    • Como x\to 3^{+}, f_{2}(x)\to +\infty.
    • Como x\to 3^{-}, f_{2}(x)\to -\infty.
    • Como x\to +\infty, f_{2}(x)\to 1^{+}.
    • Como x\to -\infty, f_{2}(x)\to 1^{-}.
  • Monotonicidade e curvatura:
    • A função é decrescente em (-\infty,3) e em (3,\infty).
    • É côncava para baixo em (-\infty,3) e côncava para cima em (3,\infty).
  • Como esboçar passo a passo:
    1. Desenhar as retas tracejadas das assíntotas x=3 (vertical) e y=1 (horizontal).
    2. Marcar os pontos (-3,0) e (0,-1).
    3. No intervalo x<3: desenhar um ramo que passa por (-3,0) e (0,-1), fica abaixo da assíntota horizontal y=1, é decrescente e côncavo para baixo e tende a 1 quando x\to -\infty e a -\infty quando x\to 3^{-}.
    4. No intervalo x>3: desenhar um ramo que fica acima da assíntota horizontal y=1, decrescente e côncavo para cima, tende a +\infty quando x\to 3^{+} e aproxima-se de 1 quando x\to +\infty.
    5. Verificar que não há pontos adicionais de máximo/minimo (derivada não zera em domínio), então os ramos não os apresentam.

Resposta

Domínio: x\neq 3
Assíntota vertical: x=3
Assíntota horizontal: y=1
Interceptos: x-intercepto (-3,0); y-intercepto (0,-1)
Comportamento nas assíntotas e infinitos: \lim_{x\to3^-}f_{2}(x)=-\infty, \lim_{x\to3^+}f_{2}(x)=+\infty, \lim_{x\to-\infty}f_{2}(x)=1^{-}, \lim_{x\to+\infty}f_{2}(x)=1^{+}
Monotonicidade: f_{2}'(x)=\dfrac{-6}{(x-3)^{2}}<0 em (-\infty,3) e (3,\infty) (sempre decrescente em cada ramo)
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,3) e côncava para cima em (3,\infty) (pois f_{2}''(x)=\dfrac{12}{(x-3)^{3}})

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