Mostre que:
A transformada de Fourier do potencial Coulombiano é dado por:
V_{\boldsymbol{q}}=\frac{1}{\Omega} \int d \boldsymbol{r} \frac{e^{2}}{r} e^{-i \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{r}}=\frac{4 \pi e^{2}}{\Omega q^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Fourier do potencial coulombiano satisfaz
V_{\boldsymbol{q}}=\frac{1}{\Omega}\int d\boldsymbol{r}\,\frac{e^{2}}{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}=\frac{4\pi e^{2}}{\Omega q^{2}}.
Informações e hipóteses relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A integração é sobre todo o espaço \boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^{3}.
  • r=|\boldsymbol{r}| é a distância ao centro.
  • \boldsymbol{q} é um vetor de onda com magnitude q=|\boldsymbol{q}|.
  • \Omega é um fator de normalização (volume) colocado fora da integral, conforme a definição dada de V_{\boldsymbol{q}}.
  • O objetivo é provar a igualdade para q\neq 0 (a caso q=0 é singular e exige tratamento separado).

Passo 2

Vou usar uma identidade clássica da teoria de distribuições (Poisson) para o potencial 1/r. A identidade é
\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\boldsymbol{r}),
onde \delta(\boldsymbol{r}) é a delta de Dirac tridimensional. Explico por que isso vale:
  • Para \boldsymbol{r}\neq\boldsymbol{0} tem-se \nabla^{2}(1/r)=0 (pois 1/r é harmônica fora da origem).
  • A singularidade em \boldsymbol{r}=\boldsymbol{0} é capturada em sentido de distribuições: integramos \nabla^{2}(1/r) sobre uma pequena bola B_\epsilon centrada na origem e aplicamos o teorema da divergência: \int_{B_\epsilon}\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{r}\right)d^{3}r=\oint_{S_\epsilon}\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right)\cdot d\boldsymbol{S}.
  • Calculando \nabla(1/r)=-\boldsymbol{r}/r^{3} e usando d\boldsymbol{S}=\hat{\boldsymbol{r}}\,r^{2}d\Omega na superfície esférica de raio \epsilon, obtemos \oint_{S_\epsilon}\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right)\cdot d\boldsymbol{S}=\oint_{S_\epsilon}\left(-\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\right)\cdot(\hat{\boldsymbol{r}}\,r^{2}d\Omega)=-\oint_{S_\epsilon}d\Omega=-4\pi.
  • Portanto, no sentido de distribuições, \nabla^{2}(1/r) integra para -4\pi sobre qualquer bola contendo a origem, o que equivale a -4\pi\delta(\boldsymbol{r}).

Passo 3

Agora uso a propriedade da transformada de Fourier relativa ao operador laplaciano. Defina, para uma função razoável f(\boldsymbol{r}),
\tilde{f}(\boldsymbol{q})=\int d\boldsymbol{r}\,f(\boldsymbol{r})\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}.
Uma propriedade útil é que mover o laplaciano para a exponencial, via identidade de Green (ou integração por partes duas vezes, assumindo termos de contorno nulos), dá
\int d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\,\nabla^{2}f(\boldsymbol{r})=-q^{2}\int d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\,f(\boldsymbol{r}).
Explicação passo a passo dessa igualdade:
  • Pela identidade de Green (ou integração por partes generalizada), \int \big(u\nabla^{2}v - v\nabla^{2}u\big)d^{3}r = \text{termo de superfície}.íTomando u=e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}} e v=f(\boldsymbol{r}), e assumindo que o termo de superfície tende a zero (funções decaem adequadamente ao infinito ou consideramos volume grande com contornos negligenciáveis), obtém-se \int e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\nabla^{2}f(\boldsymbol{r})\,d^{3}r=\int f(\boldsymbol{r})\nabla^{2}e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\,d^{3}r.
  • Como \nabla^{2}e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}=-q^{2}e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}, segue a propriedade desejada: \int e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\nabla^{2}f(\boldsymbol{r})\,d^{3}r=-q^{2}\int e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}f(\boldsymbol{r})\,d^{3}r.

Passo 4

Multiplico a identidade de Poisson por e^{2} (constante) e tomo a transformada integral definida em \tilde{g}(\boldsymbol{q})=\int d\boldsymbol{r}\,g(\boldsymbol{r})e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}. Assim, com g(\boldsymbol{r})=e^{2}\nabla^{2}(1/r) a transformada é
\int d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\,e^{2}\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{r}\right).
Usando a identidade de Poisson na forma e^{2}\nabla^{2}(1/r)=-4\pi e^{2}\delta(\boldsymbol{r}), o lado direito desta transformada vale
\int d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\big(-4\pi e^{2}\delta(\boldsymbol{r})\big)=-4\pi e^{2}.
Por outro lado, aplicando a propriedade do laplaciano (Passo 3) ao integrando e^{2}\nabla^{2}(1/r) obtemos
\int d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\,e^{2}\nabla^{2}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-q^{2}\int d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\,\frac{e^{2}}{r}.
Juntando as duas expressões para a mesma integral segue a igualdade
-q^{2}\int d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\,\frac{e^{2}}{r}=-4\pi e^{2}.
Agora uso a definição dada no enunciado V_{\boldsymbol{q}}=\dfrac{1}{\Omega}\int d\boldsymbol{r}\,\dfrac{e^{2}}{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}. Substituindo \int d\boldsymbol{r}\,e^{-i\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{r}}\,\dfrac{e^{2}}{r}=\Omega V_{\boldsymbol{q}} na equação anterior obtemos a relação algebrica
-q^{2}\,\Omega V_{\boldsymbol{q}}=-4\pi e^{2}.

Passo 5

A partir da relação obtida em Passo 4 isolamos V_{\boldsymbol{q}}. Antes de escrever o resultado final, um comentário importante sobre q=0: a expressão envolve 1/q^{2}, então q=0 é singular — isso corresponde ao fato físico de que o potencial coulombiano tem contribuição de longo alcance; em sistemas reais periódicos costuma-se introduzir uma carga de fundo neutra ou tratar q=0 separadamente. Para q\neq 0 a manipulação acima é válida e podemos resolver para V_{\boldsymbol{q}}.

Resposta

V_{\boldsymbol{q}}=\frac{4\pi e^{2}}{\Omega q^{2}}.

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