Mostre que:
A transformada de Fourier do potencial Coulombiano é dado por:
A transformada de Fourier do potencial Coulombiano é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada de Fourier do potencial coulombiano satisfaz
Informações e hipóteses relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A integração é sobre todo o espaço
. -
é a distância ao centro. -
é um vetor de onda com magnitude . -
é um fator de normalização (volume) colocado fora da integral, conforme a definição dada de . - O objetivo é provar a igualdade para
(a caso é singular e exige tratamento separado).
Passo 2
Vou usar uma identidade clássica da teoria de distribuições (Poisson) para o potencial
. A identidade é
onde
é a delta de Dirac tridimensional. Explico por que isso vale:
- Para
tem-se (pois é harmônica fora da origem). - A singularidade em
é capturada em sentido de distribuições: integramos sobre uma pequena bola centrada na origem e aplicamos o teorema da divergência: - Calculando
e usando na superfície esférica de raio , obtemos - Portanto, no sentido de distribuições,
integra para sobre qualquer bola contendo a origem, o que equivale a .
Passo 3
Agora uso a propriedade da transformada de Fourier relativa ao operador laplaciano. Defina, para uma função razoável
,
Uma propriedade útil é que mover o laplaciano para a exponencial, via identidade de Green (ou integração por partes duas vezes, assumindo termos de contorno nulos), dá
Explicação passo a passo dessa igualdade:
- Pela identidade de Green (ou integração por partes generalizada),
Tomando e , e assumindo que o termo de superfície tende a zero (funções decaem adequadamente ao infinito ou consideramos volume grande com contornos negligenciáveis), obtém-se - Como
, segue a propriedade desejada:
Passo 4
Multiplico a identidade de Poisson por
(constante) e tomo a transformada integral definida em
. Assim, com
a transformada é
Usando a identidade de Poisson na forma
, o lado direito desta transformada vale
Por outro lado, aplicando a propriedade do laplaciano (Passo 3) ao integrando
obtemos
Juntando as duas expressões para a mesma integral segue a igualdade
Agora uso a definição dada no enunciado
. Substituindo
na equação anterior obtemos a relação algebrica
Passo 5
A partir da relação obtida em Passo 4 isolamos
. Antes de escrever o resultado final, um comentário importante sobre
: a expressão envolve
, então
é singular — isso corresponde ao fato físico de que o potencial coulombiano tem contribuição de longo alcance; em sistemas reais periódicos costuma-se introduzir uma carga de fundo neutra ou tratar
separadamente. Para
a manipulação acima é válida e podemos resolver para
.