Mostre que:
\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int_{k \leq k_{F}} d \boldsymbol{k} \frac{4 \pi}{(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{k})^{2}}=\frac{1}{2 \pi q}\left[\left(k_{F}^{2}-q^{2}\right) \ln \frac{k_{F}+q}{k_{F}-q}+2 k_{F} q\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para calcular a integral
I=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\int_{|\boldsymbol{k}|\le k_{F}} d\boldsymbol{k}\,\frac{4\pi}{(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{k})^{2}}.
  • Informação dada: integração sobre a bola de raio k_{F} no espaço \boldsymbol{k}\in\mathbb{R}^{3}.
  • Objetivo final: mostrar que a integral vale
\frac{1}{2\pi q}\Big[\big(k_{F}^{2}-q^{2}\big)\ln\frac{k_{F}+q}{k_{F}-q}+2k_{F}q\Big].

Passo 2

Escolher sistema de coordenadas e escrever a integral em coordenadas esféricas \boldsymbol{k}.
  • Podemos alinhar \boldsymbol{q} ao eixo z (isso é sempre possível por simetria); então o ângulo entre \boldsymbol{k} e \boldsymbol{q} chamamos de \theta e \mu=\cos\theta.
  • Em coordenadas esféricas d\boldsymbol{k}=k^{2}dk\,d\Omega com d\Omega=d\varphi\,d\mu e \varphi\in[0,2\pi], \mu\in[-1,1].
  • O integrando depende só em k e \mu via
(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{k})^{2}=q^{2}+k^{2}-2qk\mu.
  • Substituindo na integral:
I=\frac{1}{(2\pi)^{3}}\int_{0}^{k_{F}}k^{2}dk\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{-1}^{1}d\mu\,\frac{4\pi}{q^{2}+k^{2}-2qk\mu}.

Passo 3

Fatorar constantes angulares e simplificar os fatores de 2\pi.
  • Calcular os fatores numéricos: (2\pi)^{3}=8\pi^{3}. O produto das integrais angulares dá \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.
  • Portanto
I=\frac{1}{8\pi^{3}}\cdot 4\pi\cdot 2\pi \int_{0}^{k_{F}}k^{2}dk\int_{-1}^{1}\frac{d\mu}{q^{2}+k^{2}-2qk\mu}.
  • Simplificando \frac{1}{8\pi^{3}}\cdot 4\pi\cdot 2\pi=\frac{1}{\pi}, obtemos
I=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{k_{F}}k^{2}dk\int_{-1}^{1}\frac{d\mu}{q^{2}+k^{2}-2qk\mu}.

Passo 4

Calcular a integral em \mu (integral angular).
  • Seja A=q^{2}+k^{2} e B=2qk. Temos que integrar \int_{-1}^{1}\frac{d\mu}{A-B\mu}.
  • Essa integral é elementar: para B\neq 0,
\int_{-1}^{1}\frac{d\mu}{A-B\mu}=\frac{1}{B}\ln\frac{A+B}{A-B}.
  • Substituindo de volta A e B,
\int_{-1}^{1}\frac{d\mu}{q^{2}+k^{2}-2qk\mu}=\frac{1}{2qk}\ln\frac{q^{2}+k^{2}+2qk}{q^{2}+k^{2}-2qk}.
  • Observe que \dfrac{q^{2}+k^{2}\pm 2qk}=(q\pm k)^{2}, então a razão das somas de quadrados simplifica:
\frac{1}{2qk}\ln\frac{(q+k)^{2}}{(q-k)^{2}}=\frac{1}{qk}\ln\frac{q+k}{q-k}.

Passo 5

Reduzir a integral a uma integral unidimensional em k.
  • Substituindo o resultado angular em I:
I=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{k_{F}}k^{2}\left(\frac{1}{qk}\ln\frac{q+k}{q-k}\right)dk.
  • Simplificando k^{2}/(qk)=k/q, obtemos
I=\frac{1}{\pi q}\int_{0}^{k_{F}}k\ln\frac{q+k}{q-k}\,dk.
  • Definimos
J=\int_{0}^{k_{F}}k\ln\frac{q+k}{q-k}\,dk,
de modo que I=\dfrac{1}{\pi q}J.

Passo 6

Calcular J por integração por partes.
  • Tome u=\ln\frac{q+k}{q-k} e dv=k\,dk. Então du=\dfrac{2q}{q^{2}-k^{2}}\,dk e v=\dfrac{k^{2}}{2}.
  • Aplicando integração por partes:
J=\left.\frac{k^{2}}{2}\ln\frac{q+k}{q-k}\right|_{0}^{k_{F}}-\int_{0}^{k_{F}}\frac{k^{2}}{2}\cdot\frac{2q}{q^{2}-k^{2}}\,dk.
  • O termo de fronteira em k=0 é zero porque \ln\frac{q+0}{q-0}=\ln 1=0. Então
J=\frac{k_{F}^{2}}{2}\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}-q\int_{0}^{k_{F}}\frac{k^{2}}{q^{2}-k^{2}}\,dk.

Passo 7

Avaliar a integral restante usando decomposição algébrica.
  • Escrevemos
\frac{k^{2}}{q^{2}-k^{2}}=-1+\frac{q^{2}}{q^{2}-k^{2}}.
  • Assim
\int_{0}^{k_{F}}\frac{k^{2}}{q^{2}-k^{2}}\,dk=-\int_{0}^{k_{F}}dk+q^{2}\int_{0}^{k_{F}}\frac{dk}{q^{2}-k^{2}}=-k_{F}+q^{2}M,
onde
M=\int_{0}^{k_{F}}\frac{dk}{q^{2}-k^{2}}.
  • Calcular M por frações parciais:
\frac{1}{q^{2}-k^{2}}=\frac{1}{2q}\left(\frac{1}{q-k}+\frac{1}{q+k}\right).
  • Integrando de 0 a k_{F},
M=\frac{1}{2q}\left.\ln\frac{q+k}{q-k}\right|_{0}^{k_{F}}=\frac{1}{2q}\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}.
  • Portanto
\int_{0}^{k_{F}}\frac{k^{2}}{q^{2}-k^{2}}\,dk=-k_{F}+q^{2}\cdot\frac{1}{2q}\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}=-k_{F}+\frac{q}{2}\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}.

Passo 8

Substituir de volta em J e obter expressão fechada.
  • Substituindo na expressão de J:
J=\frac{k_{F}^{2}}{2}\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}-q\left(-k_{F}+\frac{q}{2}\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}\right).
  • Desenvolvendo:
J=\frac{k_{F}^{2}}{2}\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}+qk_{F}-\frac{q^{2}}{2}\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}.
  • Agrupando termos com o logaritmo:
J=\frac{1}{2}\big(k_{F}^{2}-q^{2}\big)\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}+qk_{F}.

Passo 9

Voltar para I e simplificar para a forma pedida.
  • Lembrando que I=\dfrac{1}{\pi q}J, obtemos
I=\frac{1}{\pi q}\left[\frac{1}{2}\big(k_{F}^{2}-q^{2}\big)\ln\frac{q+k_{F}}{q-k_{F}}+qk_{F}\right].
  • Colocando em um único fator \dfrac{1}{2\pi q}:
I=\frac{1}{2\pi q}\left[\big(k_{F}^{2}-q^{2}\big)\ln\frac{k_{F}+q}{k_{F}-q}+2k_{F}q\right].
  • Observação sobre domínio: a forma com \ln\frac{k_{F}+q}{k_{F}-q} requer k_{F}>q para o logaritmo real; para outras faixas de q a expressão é a continuação analítica adequada (o procedimento acima supõe q real e evita cruzar o polo em k=q).

Resposta

\frac{1}{2\pi q}\left[\left(k_{F}^{2}-q^{2}\right)\ln \frac{k_{F}+q}{k_{F}-q}+2k_{F}q\right]

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