Faça um gráfico que represente os primeiros termos da sequência a_{n}=\frac{n}{n+1} ligados por segmentos de retas e verifique quantos pontos da forma ( n, a_{n} ) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas y=4 / 5 e y=6 / 5.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) “fazer um gráfico” que represente os primeiros termos da sequência a_{n}=\frac{n}{n+1} ligados por segmentos de reta; (2) verificar quantos pontos da forma (n,a_{n}) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas y=\frac{4}{5} e y=\frac{6}{5}.\n
Informações dadas e decisões iniciais: \n
  • A sequência é \displaystyle a_{n}=\frac{n}{n+1} para n\in\mathbb{N} (consideramos n=1,2,3,\dots).\n
  • A faixa horizontal é o conjunto de pontos cujo y satisfaz \frac{4}{5}\le y\le\frac{6}{5}. Pontos “fora da faixa” são aqueles com y<\frac{4}{5} ou y>\frac{6}{5}.\n
  • Para o gráfico pediram os “primeiros termos” — vou calcular e indicar como desenhar os pontos para, por exemplo, n=1,\dots,10 (é suficiente para ver o comportamento). A verificação de quantos pontos estão fora é feita analisando a desigualdade entre a_{n} e as retas.\n

Passo 2

Calcular os primeiros termos explicitamente (mostro a forma simplificada e valores):\n
A observação útil é escrever
a_{n}=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},
o que já mostra que a_{n}<1 para todo n e que a_{n} aumenta quando n aumenta (pois 1/(n+1) diminui).\n
Agora os valores para n=1 até 10:\n
\displaystyle a_{1}=\frac{1}{2}=0{,}5\n
\displaystyle a_{2}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667\n
\displaystyle a_{3}=\frac{3}{4}=0{,}75\n
\displaystyle a_{4}=\frac{4}{5}=0{,}8\n
\displaystyle a_{5}=\frac{5}{6}\approx0{,}8333\n
\displaystyle a_{6}=\frac{6}{7}\approx0{,}8571\n
\displaystyle a_{7}=\frac{7}{8}=0{,}875\n
\displaystyle a_{8}=\frac{8}{9}\approx0{,}8889\n
\displaystyle a_{9}=\frac{9}{10}=0{,}9\n
\displaystyle a_{10}=\frac{10}{11}\approx0{,}9091\n
Esses são os pontos que vamos plotar: (1,0{,}5),(2,0{,}6667),(3,0{,}75),(4,0{,}8),\dots,(10,0{,}9091).

Passo 3

Instruções simples para desenhar o gráfico (passo a passo prático para a prova, sem calculadora gráfica):\n
  1. Desenhe um sistema de eixos cartesianos com x horizontal (inteiros 1,2,\dots,10) e y vertical cobrindo de 0 a 1{,}1.\n
  2. Marque as retas horizontais y=\frac{4}{5} e y=\frac{6}{5}. Note que y=\frac{4}{5}=0{,}8 e y=\frac{6}{5}=1{,}2. A reta y=\frac{6}{5} fica acima de 1, e a sequência tem termos menores que 1 (veja abaixo), então todos os pontos estarão abaixo de y=\frac{6}{5}.\n
  3. Plote os pontos calculados em

Passo 4

  1. Una os pontos consecutivos (n,a_{n}) e (n+1,a_{n+1}) por segmentos de reta. Isso formará uma “linha em degraus suaves” que sobe e se aproxima de y=1.\n
    Comentário útil para a prova: a sequência é estritamente crescente e limitada por 1. Para ver que é crescente, note que
a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0,
logo a_{n+1}>a_{n}. Assim os pontos sobem com n e se aproximam de y=1.

Passo 5

Determinar quais pontos estão fora da faixa \frac{4}{5}\le y\le\frac{6}{5}.\n
Primeiro verificação superior: para todo n temos a_{n}=1-\frac{1}{n+1}<1. Como 1<\frac{6}{5}, é impossível ter a_{n}>\frac{6}{5}. Portanto nenhum ponto está acima da reta y=\frac{6}{5}.\n
Agora verificação inferior: queremos os n tais que a_{n}<\frac{4}{5}. Resolvemos a desigualdade:\n
\frac{n}{n+1}<\frac{4}{5}.
Multiplicando ambos os lados por (n+1) (positivo para n\in\mathbb{N}) e por 5, obtemos
5n<4(n+1).
Desenvolvendo o lado direito:
5n<4n+4 \quad\Rightarrow\quad n<4.
Como n é inteiro positivo, isso significa n\in\{1,2,3\}.\n
Verificação das fronteiras: para n=4 temos exatamente a_{4}=\frac{4}{5}, portanto (4,a_{4}) está sobre a reta inferior (na borda da faixa), não fora dela.\n
Conclusão desta análise: os únicos pontos fora da faixa são os com n=1,2,3, todos abaixo da reta y=\frac{4}{5}. Não há pontos acima de y=\frac{6}{5}.

Passo 6

Listar explicitamente os pontos fora e contar quantos são, para ficar claro no gabarito/na prova:\n
Pontos fora (abaixo de y=\frac{4}{5}): \displaystyle (1,\tfrac{1}{2}),\\ (2,\tfrac{2}{3}),\\ (3,\tfrac{3}{4}).\n
Quantidade de pontos fora da faixa: 3.\n
Se for preciso desenhar o gráfico na prova, plotando até n=10 como sugerido e traçando as retas y=\frac{4}{5} e y=\frac{6}{5}, você verá claramente esses três primeiros pontos abaixo da faixa e todos os demais dentro da faixa (ou exatamente na borda para n=4).

Resposta

Os pontos fora da faixa são (1,\tfrac{1}{2}),\\ (2,\tfrac{2}{3}),\\ (3,\tfrac{3}{4}).\n
Quantidade = 3.

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