Faça um gráfico que represente os primeiros termos da sequência
ligados por segmentos de retas e verifique quantos pontos da forma (
) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) “fazer um gráfico” que represente os primeiros termos da sequência
ligados por segmentos de reta; (2) verificar quantos pontos da forma
estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas
e
.\n
Informações dadas e decisões iniciais: \n
Informações dadas e decisões iniciais: \n
- A sequência é
para (consideramos ).\n - A faixa horizontal é o conjunto de pontos cujo
satisfaz . Pontos “fora da faixa” são aqueles com ou .\n - Para o gráfico pediram os “primeiros termos” — vou calcular e indicar como desenhar os pontos para, por exemplo,
(é suficiente para ver o comportamento). A verificação de quantos pontos estão fora é feita analisando a desigualdade entre e as retas.\n
Passo 2
Calcular os primeiros termos explicitamente (mostro a forma simplificada e valores):\n
A observação útil é escrever
A observação útil é escrever
o que já mostra que
para todo
e que
aumenta quando
aumenta (pois
diminui).\n
Agora os valores para até
:\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
Esses são os pontos que vamos plotar: .
Agora os valores para
Esses são os pontos que vamos plotar:
Passo 3
Instruções simples para desenhar o gráfico (passo a passo prático para a prova, sem calculadora gráfica):\n
- Desenhe um sistema de eixos cartesianos com
horizontal (inteiros ) e vertical cobrindo de a .\n - Marque as retas horizontais
e . Note que e . A reta fica acima de , e a sequência tem termos menores que (veja abaixo), então todos os pontos estarão abaixo de .\n - Plote os pontos calculados em
Passo 4
- Una os pontos consecutivos
e por segmentos de reta. Isso formará uma “linha em degraus suaves” que sobe e se aproxima de .\n
Comentário útil para a prova: a sequência é estritamente crescente e limitada por. Para ver que é crescente, note que
logo
. Assim os pontos sobem com
e se aproximam de
.
Passo 5
Determinar quais pontos estão fora da faixa
.\n
Primeiro verificação superior: para todo temos
. Como
, é impossível ter
. Portanto nenhum ponto está acima da reta
.\n
Agora verificação inferior: queremos os tais que
. Resolvemos a desigualdade:\n
Primeiro verificação superior: para todo
Agora verificação inferior: queremos os
Multiplicando ambos os lados por
(positivo para
) e por
, obtemos
Desenvolvendo o lado direito:
Como
é inteiro positivo, isso significa
.\n
Verificação das fronteiras: para temos exatamente
, portanto
está sobre a reta inferior (na borda da faixa), não fora dela.\n
Conclusão desta análise: os únicos pontos fora da faixa são os com , todos abaixo da reta
. Não há pontos acima de
.
Verificação das fronteiras: para
Conclusão desta análise: os únicos pontos fora da faixa são os com
Passo 6
Listar explicitamente os pontos fora e contar quantos são, para ficar claro no gabarito/na prova:\n
Pontos fora (abaixo de ):
.\n
Quantidade de pontos fora da faixa: .\n
Se for preciso desenhar o gráfico na prova, plotando até como sugerido e traçando as retas
e
, você verá claramente esses três primeiros pontos abaixo da faixa e todos os demais dentro da faixa (ou exatamente na borda para
).
Pontos fora (abaixo de
Quantidade de pontos fora da faixa:
Se for preciso desenhar o gráfico na prova, plotando até
Resposta
Os pontos fora da faixa são
.\n
Quantidade = 3.
Quantidade = 3.