Calcule o limite das seguintes sequências;
\frac{1}{3^{n}}+\left(\frac{3}{4}\right)^{n-3}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n\to\infty da sequência
s_n=\frac{1}{3^{n}}+\left(\frac{3}{4}\right)^{n-3}.
Informações dadas:
  • A sequência é a soma de duas parcelas dependentes de n: \frac{1}{3^{n}} e \left(\frac{3}{4}\right)^{n-3}.
  • Entende-se que n é um inteiro positivo que tende a +\infty.
    A partir daqui vamos calcular o limite de s_n.

Passo 2

Vamos lembrar um fato essencial sobre potências com base fixa: se r é um número real tal que |r|<1, então
\lim_{n\to\infty} r^{n}=0.
Explicação didática e curta desse fato: se 0<r<1, a sequência r^n é positiva, decrescente e limitada inferiormente por 0, logo tem limite L\ge 0. Tomando limites na igualdade r^{n+1}=r\cdot r^n e passando ao limite obtemos L = rL. Como r\neq 1, segue L(1-r)=0 e portanto L=0. Se r é negativo com |r|<1, o mesmo raciocínio sobre |r|^n leva a |r|^n\to0, então r^n\to0.

Passo 3

Aplique o fato ao primeiro termo. Temos
\frac{1}{3^{n}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Como \left|\frac{1}{3}\right|<1, pelo resultado do passo anterior segue
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n}}=0.

Passo 4

Trate o segundo termo. Observe que
\left(\frac{3}{4}\right)^{n-3}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}.
Como \left(\frac{3}{4}\right)^{-3}=\left(\frac{4}{3}\right)^{3}=\frac{64}{27} (uma constante), podemos escrever
\left(\frac{3}{4}\right)^{n-3}=\frac{64}{27}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}.

Passo 5

Agora aplique o resultado do passo 2 ao fator \left(\frac{3}{4}\right)^{n}. Como \left|\frac{3}{4}\right|<1, temos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}=0.
Multiplicando por uma constante, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-3}=\frac{64}{27}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Usamos agora a propriedade de limite da soma: se \lim_{n\to\infty} a_n=A e \lim_{n\to\infty} b_n=B, então \lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=A+B. Aplicando isso às duas parcelas já estudadas,
\lim_{n\to\infty} s_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n}} + \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-3} = 0 + 0 = 0.

Resposta

\displaystyle 0

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